Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có A+B+C = 2
nên C=2 -(A+B)
nên ta có sin(A+B)=sinC , cos(A+B)=-cosC
ta có sin2A+sin2B+sin2C
=2sin(A+B)cos(A-B) + 2 sinCcosC
=2sinCcos(A-B)+2sinCcosC
=2sinC ( cos(A-B) + cosC)
=2sinC ( cos(A-B) - cos(A+B))
=2sinC.2sinAsinB
=4sinAsinBsinC
Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)
cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)
3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)
từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)
a, Vẽ AD là đường phân giác của tam giác ABC . Vẽ BH là đường cao của tam giác ABD
Tam giác ABC có AD là phân giác nên :
\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow\frac{BD}{AB}=\frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}\)
Vậy \(\frac{BD}{AB}=\frac{a}{b+c}.\)Do đó \(BH\perp AN\)nên \(BH\le BD\)
b, Tam giác HAB vuông tại H nên \(sinBAH=\frac{BH}{AB}\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{AB}\le\frac{BD}{AB}=\frac{a}{b+c}\)
Tương tự ta có \(sin\frac{B}{2}=\frac{b}{c+a},sin\frac{C}{2}=\frac{c}{b+a}\)
Do đó \(sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{a.b.c}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô Si cho hai số dương ta có :
\(\frac{a.b.c}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\le\frac{1}{8}.\)Vậy \(sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}\)