Question

[Nguyễn Triệu Yến Nhi]

Sử dụng phương pháp đồng dư thức:

Tìm n\(\in\)|N để 3²ⁿ + 3ⁿ + 1 chia hết cho 13.

Answer 1

[witch roses]

xét các th

th1)n=3k (k thuộc N)

=>3^2n+3^n+1=3^2.3k+3^3k+1

=531441^k+27^k+1

do 531441 đồng dư với 1 (mod 13)=>531441^k đồng dư với 1(mod 13)

27 đồng dư với 1 (mod13)=>27^k đồng dư với 1(mod13)

1 đồng dư với 1(mod 13)

=>531441^k+27^k+1 đồng dư với 1+1+1=3(mod13)

=>531441^k+27^k+1 chia 13 dư 3<=>3^2n+36n+1 chia 13 dư 3

th2)n=3k+1(k thuộc N)

=>3^2n+3^n+1=3^2.(3k+1)+3^3k+1+1

=9^3k+1 +27^k.3+1

=729^k.9 +27^k.3+1

729^k.9 đồng dư với 9(mod 13)

27^k.3 đồng dư với 2 (mod 13)

1 đồng dư với 1 (mod13)

=>729^k.9+27^k.3+1 đồng dư vơi 1+9+2=13=0(mod 13)

=>3^2n+3^n1 chia hết cho 13

th3)n=3k+2

=>=9^3k+2 +3^3k+2 +1=729^k.81+27^k.9+1

729^k.81 đồng dư với 3 (mod 13)

27k.9 đồng dư với 9(mod 13)

1 đồng dư với 1(mod 13)

=>729^k.81+27^k.9+1 đồng dư với 3+9+1=13(mod 13)

=>3^2n +3^n+1 chia hết cho 13

vậy với n =3k+1 hoặc 3k+2 (k thuộc N) thì 3^2n +3^n +1 chia hết cho 13

Answer 2

[Nguyễn Triệu Yến Nhi]

Xét n=3k, k\(\in\)|N

3²ⁿ + 3ⁿ + 1 = 3^6k + 3^3k +1 

                    = 3^3.2k + 3^3k +1

                    =(3³)^2k + 3^3k +1

                    =27^2k + 27^k +1

27 đồng dư với 1 (mod 13)

=> 27^k đồng dư với 1^k (mod 13)

=>27^2k đồng dư với 1^2k (mod 13)

=>27^2k + 27^k +1 đồng dư với 3 (mod 13)

=> 3k ko chia hết cho 13.

Xét n=3k+1, k\(\in\)|N

3²ⁿ + 3ⁿ + 1= 3^6k+1 + 3^3k+1 +1

                   = (3²)^3k.3 + 3^3k . 3 +1

                   = 9.27^2k.3+27^k.3+1

đồng dư với 13 (mod 13)

=> 9.27^2k.3+27^k.3+1 chia hết cho 13.

=>3k+1 chia hết cho 13

Xét 3k+2, k\(\in\)|N

3²ⁿ + 3ⁿ + 1=3^6k+2 + 3^3k+2 +1

                   =81^k.9+27^k.9+1

đồng dư với 91 (mod 13)

=>3²ⁿ + 3ⁿ + 1 chia hết cho 13

=> 3k+2 chia hết cho 13.

Vậy n=3k+1 hoặc 3k+2 chia hết cho 13.