Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)
\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)
\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) (*)
Thật vậy, (*)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:
VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)
Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\).
Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)
Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)
Tham khảo:
1) Giải phương trình : \(11\sqrt{5-x}+8\sqrt{2x-1}=24+3\sqrt{\left(5-x\right)\left(2x-1\right)}\) - Hoc24
ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x\ge3\end{matrix}\right.\)
Với \(x=0\) là nghiệm
Với \(x\ge3\), chia 2 vế cho \(\sqrt{x}\) ta được:
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x-3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}-\sqrt{x-3}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+\dfrac{5}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-3}}=0\) (vô nghiệm do vế trái luôn dương)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=0\)
1: ĐKXĐ: x+3>=0
=>x>=-3
\(\sqrt{x+3}>2\)
=>x+3>4
=>x>4-3=1
2: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x< >4\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}< 1\)
=>\(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}-1< 0\)
=>\(\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}< 0\)
=>\(\dfrac{3}{\sqrt{x}-2}< 0\)
=>\(\sqrt{x}-2< 0\)
=>\(\sqrt{x}< 2\)
=>0<=x<4
3: ĐKXĐ: x>=0
\(\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-5=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-5\)
=>\(x-4\sqrt{x}+3-5=x+2\sqrt{x}-5\)
=>\(x-4\sqrt{x}-2-x-2\sqrt{x}+5=0\)
=>\(-6\sqrt{x}+3=0\)
=>\(-6\sqrt{x}=-3\)
=>\(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\)
=>x=1/4(nhận)
\(2\left(x-4\right)\sqrt{x-2}+\left(x-2\right)\sqrt{x+1}+2\left(x-3\right)=0\)
ĐK:\(x\ge2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-4\right)\left(\sqrt{x-2}-1\right)+\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+1}-2\right)-2\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-4\right)\frac{x-2-1}{\sqrt{x-2}+1}+\left(x-2\right)\frac{x+1-4}{\sqrt{x+1}+2}-2\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-4\right)\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+\left(x-2\right)\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}-2\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{2\left(x-4\right)}{\sqrt{x-2}+1}+\frac{x-2}{\sqrt{x+1}+2}-2\right)=0\)
Suy ra x=3
a.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x+2}=a\\\sqrt[3]{x-2}=b\end{matrix}\right.\) ta được:
\(2a^2-b^2=ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\2a=-b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^3=b^3\\8a^3=-b^3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=x-2\left(vô-nghiệm\right)\\8\left(x+2\right)=-\left(x-2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{14}{9}\)
b.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{65+x}=a\\\sqrt[3]{65-x}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2=5ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=4b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^3=b^3\\a^3=64b^3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}65+x=65-x\\65+x=64\left(65-x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}-2\sqrt{x}\right)=0\)