Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)
Áp dụng bđt Minkowski, ta có:
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(x-3\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)
\(A=\sqrt{\left(3-x\right)^2+2\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(3-x+x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}\)
\(A=\sqrt{4^2+\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\left(y+1\right)^2}\ge\sqrt{4^2}=4\)
\(\Rightarrow A\ge4.Đ\text{TXR}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1;y=-1\\x=3;y=-1\end{cases}}\)
Dấu "=" xảy ra khi (x; y) = (3; -1)
a, \(2x^2+3\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5x\left(x+1\right)\)
\(=2x^2+3\left(x^2-1\right)-5x^2-5x\)
\(=2x^2+3x^2-3-5x^2-5x\)
\(=\left(2x^2+3x^2-5x^2\right)-3-5x\)
\(=-\left(5x+3\right)\)
b, \(\left(4x+3y\right)\left(2x-5y\right)-\left(2x+6y\right)\left(3x-5y\right)\)
\(=8x^2-20xy+6xy-\left(15y^2-6x^2-10xy-18xy-30y^2\right)\)
\(=8x^2-20xy+6xy-15y^2+6x^2+10xy+18xy+30y^2\)
\(=\left(8x^2+6x^2\right)+\left(-20xy+6xy+10xy+18xy\right)+\left(-15y^2+30y^2\right)\)
\(=14x^2+14xy+15y^2\)
\(=14x.\left(x+y\right)+15y^2\)
Chúc bạn học tốt!!!
Đặt \(A=\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}\)
\(A=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)
\(A=\left|x+1\right|+\left|x-2\right|\)
\(A=\left|x+1\right|+\left|2-x\right|\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)ta có :
\(A=\left|x+1\right|+\left|2-x\right|\ge\left|x+1+2-x\right|=\left|3\right|=3\)
Đẳng thức xảy ra khi ab ≥ 0
=> ( x + 1 )( 2 - x ) ≥ 0
Xét hai trường hợp :
1. \(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\2-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\-x\ge-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\le2\end{cases}}\Leftrightarrow-1\le x\le2\)
2. \(\hept{\begin{cases}x+1\le0\\2-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-1\\-x\le-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le-1\\x\ge2\end{cases}}\)( loại )
=> MinA = 3 <=> \(-1\le x\le2\)
Câu 1:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)
\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)
Vậy \(y_{\max}=10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)
Tìm min:
Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
Chứng minh:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$
--------------------
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)
\(\sqrt{5-x}\geq 0\)
\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)
Vậy $y_{\min}=6$
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)
Bài 2:
\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)
Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:
\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)
Vậy \(A_{\min}=3989\)
Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)
\(A=x-2\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1\right)+\left(\sqrt{y}+1\right)^2-\left(\sqrt{y+1}\right)^2+3y+1\)
\(A=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2-\left(y+2\sqrt{y}+1\right)+3y+1\)
\(A=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2y-2\sqrt{y}\)
\(A=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2\left(y-2.\sqrt{y}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}\)
\(A=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2\left(\sqrt{y}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\forall x,y\ge0\)
Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}-1=0\\\sqrt{y}=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}}\)
Vậy......