Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi
\(a_1\sin^2x+b_1\sin x\cos x+c_1\cos^2x=\left(A\sin x+B\cos x\right)\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+C\left(\sin^2x+\cos^2x\right)\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{\left(A\sin x+B\cos x\right)\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+C\left(\sin^2x+\cos^2x\right)}{a_2\sin x+b_2\cos x}\)
\(=\int\left(A\sin x+B\cos x\right)+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x}\)
= \(-A\cos x+B\sin x+\sqrt{\frac{C}{a^2_a+b_2^2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}\)
=\(-A\cos x+B\sin x+\frac{C}{\sqrt{a_2^2+b^2_2}}\ln\left|\tan\frac{x+\alpha}{2}\right|+C\)
Trong đó :
\(\sin\alpha=\frac{b_2}{\sqrt{a_2^2}+b^{2_{ }}_2};\cos\alpha=\frac{a_2}{\sqrt{a_2^2}+b^{2_{ }}_2}\)
a) \(\sin^4x=\left(\sin^2x\right)^2=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\cos^22x\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2.\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right)\)
\(=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\)
Vậy:
\(\int\sin^4x\text{dx}=\int\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\right)\text{dx}\)
\(=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{32}\sin4x+C\)
a1sinx+b1cosx=A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx-b2sinx) roi the vo ,do la dung dong nhat thuc
Dùng công thức Moivre và khai triển nhị thức \(\left(\cos t+i\sin t\right)^5\)
\(\cos5t+i\sin5t=\cos^5t+5i\cos^4t\sin t+10i^2\cos^3t\sin^2t+10i^3\cos^2t\sin^3t+5i^4\cos t\sin^4t+i^5\sin^5t\)
Do đó :
\(\cos5t+i\sin5t=\cos^5t-10\cos^3t\left(1-\cos^2t\right)+5\cos t\left(1-\cos^2t\right)^2+i\left[\sin t\left(1-\sin^2t\right)\sin t-10\left(1-\sin^2t\right)\sin^3t+\sin^5t\right]\)
Đồng nhất hai vế ta có điều phải chứng minh
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi
\(a_1\sin x+b_1\cos x+c_1=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C}{_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=A\int dx+B\int\frac{\left(a_2\cos_{ }x-b_2\sin x_{ }\right)dx}{_{ }a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=Ax+B\ln\left|a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right|+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
Trong đó :
\(\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
