Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(cot\left(2^kx\right)+\frac{1}{sin\left(2^kx\right)}=\frac{cos\left(2^kx\right)+1}{sin\left(2^kx\right)}=\frac{cos2\left(2^{k-1}x\right)+1}{sin2\left(2^{k-1}x\right)}\)
\(=\frac{2cos^2\left(2^{k-1}x\right)-1+1}{2sin\left(2^{k-1}x\right).cos\left(2^{k-1}x\right)}=\frac{cos\left(2^{k-1}x\right)}{sin\left(2^{k-1}x\right)}=cot\left(2^{k-1}x\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{sin\left(2^kx\right)}=cot\left(2^{k-1}x\right)-cot\left(2^kx\right)\)
Lần lượt cho \(k\) chạy từ \(0\) đến \(2018\) ta được:
\(\frac{1}{sinx}=cot\left(\frac{x}{2}\right)-cotx\)
\(\frac{1}{sin2x}=cotx-cot2x\)
\(\frac{1}{sin4x}=cot2x-cot4x\)
\(\frac{1}{sin8x}=cot4x-cot8x\)
.....
\(\frac{1}{sin\left(2^{2018}x\right)}=cot\left(2^{2017}x\right)-cot\left(2^{2018}x\right)\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{1}{sinx}+\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+\frac{1}{sin8x}+...+\frac{1}{sin\left(2^{2018}x\right)}=cot\left(\frac{x}{2}\right)-cot\left(2^{2018}x\right)\)
Đáp án B
Đề bài ko đúng, hàm này chỉ tồn tại max, ko tồn tại min
a) Ta có :
\(\frac{19}{23}=\frac{19.101}{23.101}=\frac{1919}{2323}\)
\(\Rightarrow\frac{19}{23}=\frac{1919}{2323}\)
b) Ta có
\(\frac{10}{60}=\frac{10.10101}{60.10101}=\frac{101010}{606060}\)
\(\Rightarrow\frac{10}{60}=\frac{101010}{606060}\)
c) Ta có
\(\frac{123}{124}=\frac{123.1001}{124.1001}=\frac{123123}{124124}\)
\(\Rightarrow\frac{123}{124}=\frac{123123}{124124}\)
Xét :
\(\frac{122}{123}-1=-\frac{1}{123}\)
\(\frac{123}{124}-1=-\frac{1}{124}\)
Vì \(-\frac{1}{123}< -\frac{1}{124}\)
\(\Rightarrow\frac{122}{123}< \frac{123}{124}\)
\(\Rightarrow\frac{122}{123}< \frac{123123}{124124}\)
Áp dụng BĐT: \(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\Rightarrow a^n+b^2\ge2\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\):
\(\left(1+\dfrac{x}{y}\right)^{2018}+\left(1+\dfrac{y}{x}\right)^{2018}\ge2\left(\dfrac{2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}{2}\right)^{2018}\ge2\left(\dfrac{2+2\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}}{2}\right)^{2018}=2^{2019}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
Câu 6:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x+3}{2x-3}-\frac{x}{2x-1}\le0\\\sqrt{x^2+3}+3< 1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2x^2-x+6x-3-2x^2+3x}{\left(2x-3\right)\left(2x-1\right)}\le0\\x^2+3< \left(1-3x\right)^2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8x-3\le0\\x^2+3< 1-6x+9x^2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8x-3\le0\\8x^2-6x-2< 0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x< \frac{3}{8}\\\frac{-1}{4}x< x< \frac{1}{4}\end{cases}\Rightarrow}S\left(\frac{-1}{4};\frac{3}{8}\right)}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{2a+b}\geq \frac{(a+b)^2}{a+2b+2a+b}=\frac{(a+b)^2}{3(a+b)}=\frac{a+b}{3}=\frac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} \frac{a}{a+2b}=\frac{b}{2a+b}\\ a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2:
Vì $x+y=2019$ nên $2019-x=y; 2019-y=x$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(P=\frac{x}{\sqrt{2019-x}}+\frac{y}{\sqrt{2019-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\geq \frac{(x+y)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\)
Mà theo BĐT AM-GM và Bunhiacopxky:
\((x\sqrt{y}+y\sqrt{x})^2\leq (xy+yx)(x+y)=2xy(x+y)\leq \frac{(x+y)^2}{2}.(x+y)=\frac{(x+y)^3}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(x+y)^2}{\sqrt{\frac{(x+y)^3}{2}}}=\sqrt{2(x+y)}=\sqrt{2.2019}=\sqrt{4038}\)
Vậy \(P_{\min}=\sqrt{4038}\Leftrightarrow x=y=\frac{2019}{2}\)
Ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}VT=\frac{2018-1}{2018}=1-\frac{1}{2018}\\VP=\frac{2019-1}{2019}=1-\frac{1}{2019}\end{matrix}\right.\)
Ta thấy : \(2019>2018\)
=> \(\frac{1}{2019}< \frac{1}{2018}\)
=> \(-\frac{1}{2019}>-\frac{1}{2018}\)
=> \(1-\frac{1}{2019}>1-\frac{1}{2018}\)
=> \(VP>VT\left(hay\frac{2018}{2019}>\frac{2017}{2018}\right)\)