Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có \(\log_32<\log_33=1=\log_22<\log_23\)
b) \(\log_23<\log_24=2=\log_39<\log_311\)
c) Đưa về cùng 1 lôgarit cơ số 10, ta có
\(\frac{1}{2}+lg3=\frac{1}{2}lg10+lg3=lg3\sqrt{10}\)
\(lg19-lg2=lg\frac{19}{2}\)
So sánh 2 số \(3\sqrt{10}\) và \(\frac{19}{2}\) ta có :
\(\left(3\sqrt{10}\right)^2=9.10=90=\frac{360}{4}<\frac{361}{4}=\left(\frac{19}{2}\right)^2\)
Vì vậy : \(3\sqrt{10}<\frac{19}{2}\)
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}+lg3\)<\(lg19-lg2\)
d) Ta có : \(\frac{lg5+lg\sqrt{7}}{2}=lg\left(5\sqrt{7}\right)^{\frac{1}{2}}=lg\sqrt{5\sqrt{7}}\)
Ta so sánh 2 số : \(\sqrt{5\sqrt{7}}\) và \(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\)
Ta có :
\(\sqrt{5\sqrt{7}}^2=5\sqrt{7}\)
\(\left(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\right)^2=\frac{32+10\sqrt{7}}{4}=8+\frac{5}{2}\sqrt{7}\)
\(8+\frac{5}{2}\sqrt{7}-5\sqrt{7}=8-\frac{5}{2}\sqrt{7}=\frac{16-5\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{256}-\sqrt{175}}{2}>0\)
Suy ra : \(8+\frac{5}{2}\sqrt{7}>5\sqrt{7}\)
Do đó : \(\frac{5+\sqrt{7}}{2}>\sqrt{5\sqrt{7}}\)
và \(lg\frac{5+\sqrt{7}}{2}>\frac{lg5+lg\sqrt{7}}{2}\)
a) \(\left(\sqrt{17}\right)^6=\sqrt{\left(17^3\right)^2}=17^3=4913\)
\(\left(\sqrt[3]{28}\right)^6=\sqrt[3]{\left(28^2\right)^3}=28^2=784\)
=> \(\left(\sqrt{17}\right)^6>\left(\sqrt[3]{28}\right)^6\)
=> \(\sqrt{17}>\sqrt[3]{28}\)
b) \(\left(\sqrt[4]{13}\right)^{20}=13^5=371293\)
\(\left(\sqrt[5]{23}\right)^{20}=23^4=279841\)
=> \(\sqrt[4]{13}>\sqrt[5]{23}\)
d) So sánh :
\(\sqrt{3}+1\) và \(\sqrt{7}\), ta có :
\(\left(\sqrt{3}+1\right)^2-\left(\sqrt{7}\right)^2=3+1+2\sqrt{3}-7=2\sqrt{3}-3\)
Hơn nữa :
\(\left(2\sqrt{3}\right)^2-3^2=4.3-9=9>0\)
Do đó
\(\sqrt{3}+1>\sqrt{7}\)
Mà \(e^{\sqrt{3}+1}>e^{\sqrt{7}}\)
c) Ta có :
\(\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}-3}=\frac{\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}}}{\left(\frac{\pi}{5}\right)^3}\)
Lại có \(0<\pi<5\) nên \(0<\frac{\pi}{5}<1\) và \(\sqrt{10}>3\)
Do đó : \(\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}}<\left(\frac{\pi}{5}\right)^3\)
Mà \(\left(\frac{\pi}{5}\right)^3>0\) nên \(\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}-3}=\frac{\left(\frac{\pi}{5}\right)^{10}}{\left(\frac{\pi}{5}\right)^3}<1\)
1.
\(A=3log_{2^2}\sqrt{a}-log_{2^{-1}}a^2+2log_{a^{\dfrac{1}{2}}}a\)
\(=3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}log_2a-\left(-1\right).2.log_2a+2.2.log_2a\)
\(=\dfrac{27}{4}log_2a\)
2.
\(log_{12}36=\dfrac{log_236}{log_212}=\dfrac{log_2\left(3^2.2^2\right)}{log_2\left(3.2^2\right)}=\dfrac{log_23^2+log_22^2}{log_23+log_22^2}\)
\(=\dfrac{2.log_23+2}{log_23+2}=\dfrac{2a+2}{a+2}\)
cho e hỏi tại sao \(3\log_{2^2}\sqrt{a}\) lại bằng \(3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\log_2a\) và \(2\log_{a^{\dfrac{1}{2}}}a=2.2.\log_2a\)
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương, ta có :
\(\log_23+\log_32>2\sqrt{\log_23.\log_32}=2\sqrt{1}=2\)
Không xảy ra dấu "=" vì \(\log_23\ne\log_32\)
Mặt khác, ta lại có :
\(\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\Leftrightarrow\log_23+\frac{1}{\log_23}-\frac{5}{2}<0\)
\(\Leftrightarrow2\log^2_23-5\log_23+2<0\)
\(\Leftrightarrow\left(\log_23-1\right)\left(\log_23-2\right)<0\) (*)
Hơn nữa, \(2\log_23>2\log_22>1\) nên \(2\log_23-1>0\)
Mà \(\log_23<\log_24=2\Rightarrow\log_23-2<0\)
Từ đó suy ra (*) luôn đúng. Vậy \(2<\log_23+\log_32<\frac{5}{2}\)
b) Vì \(a,b\ge1\) nên \(\ln a,\ln b,\ln\frac{a+b}{2}\) không âm.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\(\ln a+\ln b\ge2\sqrt{\ln a.\ln b}\)
Suy ra
\(2\left(\ln a+\ln b\right)\ge\ln a+\ln b+2\sqrt{\ln a\ln b}=\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
Mặt khác :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\ln a+\ln b\right)\)
Từ đó ta thu được :
\(\ln\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{4}\left(\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}\right)^2\)
hay \(\frac{\sqrt{\ln a}+\sqrt{\ln b}}{2}\le\sqrt{\ln\frac{a+b}{2}}\)
c) Ta chứng minh bài toán tổng quát :
\(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi n >1
Thật vậy,
\(\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1>n\left(n+2\right)>1\)
suy ra :
\(\log_{\left(n+1\right)^2}n\left(n+2\right)<1\Leftrightarrow\frac{1}{2}\log_{n+1}n\left(n+2\right)<1\)
\(\Leftrightarrow\log_{n+1}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)<2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(2>\log_{\left(n+1\right)}n+\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)>2\sqrt{\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)}\)
Do đó ta có :
\(1>\log_{\left(n+1\right)}n.\log_{\left(n+1\right)}n\left(n+2\right)\) và \(\log_n\left(n+1>\right)\log_{\left(n+1\right)}\left(n+2\right)\) với mọi n>1
a. \(\log_23\) và \(\log_311\)
Ta có : \(\log_23< \log_24=4=\log_39< \log_311\Rightarrow\log_23< \log_211\)
b.\(\left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{-\sqrt{5}}{2}}\) và 1
Ta có : \(\begin{cases}\frac{-\sqrt{5}}{2}< 0\\0< \frac{5}{7}< 1\end{cases}\)\(\Rightarrow\left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{-\sqrt{5}}{2}}>\left(\frac{5}{7}\right)^0=1\)
Ta có:
\(\sqrt[3]{7}< \sqrt[3]{8}=2\) và \(\sqrt{15}< \sqrt{16}=4\), suy ra \(\sqrt[3]{7}+\sqrt{15}< 6\).
\(\sqrt{10}>\sqrt{9}=3\) và \(\sqrt[3]{28}>\sqrt[3]{27}=3\), suy ra \(\sqrt{10}+\sqrt[3]{28}>6\).
Vậy \(\sqrt[3]{7}+\sqrt{15}< \sqrt{10}+\sqrt[3]{28}\).
a. \(0,7^{\frac{\sqrt{5}}{2}}\) và \(0,7^{\frac{1}{3}}\).
Ta có : \(\begin{cases}\left(\frac{\sqrt{5}}{6}\right)^2=\frac{5}{36}>\frac{4}{36}=\left(\frac{1}{3}\right)^2\Rightarrow\frac{\sqrt{5}}{6}>\frac{1}{3}\\0< 0,7< 1\end{cases}\)
\(\Rightarrow0,7^{\frac{\sqrt{5}}{6}}< 0,7^{\frac{1}{3}}\)
b. \(2^{\sqrt{3}}\) và \(3^{\sqrt{2}}\)
Ta có : \(\begin{cases}\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}=2^3=8\\\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{3}}=3^{\sqrt{6}}>3^2=9\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}< \left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow2^{\sqrt{3}}< 3^{\sqrt{2}}\)
c. \(\log_{0.4}\sqrt{2}\) và \(\log_{0,2}0,34\)
Ta có : \(\begin{cases}0< 0,4< 1;\sqrt{2}>1\Rightarrow\log_{0,4}\sqrt{2}< 0\\0< 0,2< 1;0< 1< 0,34\Rightarrow\log_{0,2}0,3>0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\log_{0,4}\sqrt{2}< \log_{0,2}0,34\)
a) \(A=\log_{5^{-2}}5^{\frac{5}{4}}=-\frac{1}{2}.\frac{5}{4}.\log_55=-\frac{5}{8}\)
b) \(B=9^{\frac{1}{2}\log_22-2\log_{27}3}=3^{\log_32-\frac{3}{4}\log_33}=\frac{2}{3^{\frac{3}{4}}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{3}}\)
c) \(C=\log_3\log_29=\log_3\log_22^3=\log_33=1\)
d) Ta có \(D=\log_{\frac{1}{3}}6^2-\log_{\frac{1}{3}}400^{\frac{1}{2}}+\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt[3]{45}\right)\)
\(=\log_{\frac{1}{3}}36-\log_{\frac{1}{3}}20+\log_{\frac{1}{3}}45\)
\(=\log_{\frac{1}{3}}\frac{36.45}{20}=\log_{3^{-1}}81=-\log_33^4=-4\)
a. \(\sqrt[4]{\sqrt{3}-1}\) và \(\sqrt[3]{\sqrt{3}-1}\)
Ta có : \(\begin{cases}\sqrt[4]{\sqrt{3}-1}=\left(\sqrt{3}-1\right)^{\frac{1}{4}};\sqrt[3]{\sqrt{3}-1}=\left(\sqrt{3}-1\right)^{\frac{1}{3}}\\0< \sqrt{3}-1< 1;\frac{1}{4}< \frac{1}{3}\end{cases}\)
\(\Rightarrow\sqrt[4]{\sqrt{3}-1}>\left(\sqrt{3}-1\right)^{\frac{1}{4}}\)
b. \(\log_32\) và \(\log_23\)
Ta có : \(\log_32< \log_33=1=\log_22< \log_23\Rightarrow\log_32< \log_23\)