Question

[Nguyễn Nhất]

So sánh 2 số sau :

\(A=\frac{1}{5}+\frac{2}{5^2}+\frac{2}{5^3}+...+\frac{2018}{5^{2018}}\) ; \(B=\frac{2018}{2019}\)

Anh chị giúp em với ạ !!!

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(A=\frac{1}{5}+\frac{2}{5^2}+\frac{3}{5^3}+...+\frac{2018}{5^{2018}}\)

\(5A=1+\frac{2}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+...+\frac{2018}{5^{2017}}\)

Trừ dưới cho trên:

\(4A=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{2017}}-\frac{2018}{5^{2018}}\)

Đặt \(C=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{2017}}\) (1)

\(\Rightarrow4A=C-\frac{2018}{5^{2018}}< C\Rightarrow A< \frac{1}{4}C\)

Ta có: \(\frac{1}{5}C=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{5^{2017}}+\frac{1}{5^{2018}}\) (2)

Trừ (1) cho (2):

\(\frac{4}{5}C=1-\frac{1}{5^{2018}}\Rightarrow C=\frac{5}{4}-\frac{1}{4.5^{2017}}< \frac{5}{4}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{4}C< \frac{1}{4}.\frac{5}{4}=\frac{5}{16}< \frac{2018}{2019}\)

\(\Rightarrow A< B\)

Answer 2

[Nguyễn Nhất]

Akai Haruma có thể giúp em bài này đc ko ạ !!!