Question

[Nguyễn Mai]

S = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + ...... + k(k+1)(k+2). Chứng minh 4S +1 là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
$4S=1.2.3(4-0)+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]$

$=[1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+...k(k+1)(k+2)(k+3)]-[0.1.2.3+1.2.3.4+2.3.4.5+....+(k-1)k(k+1)(k+2)]$

$=k(k+1)(k+2)(k+3)$

$\Rightarrow 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1=[k(k+3)][(k+1)(k+2)]+1$

$=(k^2+3k)(k^2+3k+2)+1=(k^2+3k)^2+2(k^2+3k)+1=(k^2+3k+1)^2$

$\Rightarrow 4S+1$ là số chính phương.