Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:
Định lí SOS: Nếu \(X+Y+Z=0\) thì \(AX^2+BY^2+CZ^2\ge0\)
khi \(\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh: Vì \(\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0\)
Nên ta có thể giả sử \(A+C\ge0\). Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$
\(AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2\)
\(={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0\)
\(BT=\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4c^2-b^4a^2+c^4a^2-c^4b^2}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^2c^2\left(b^2-c^2\right)-\left(b^4-c^4\right)a^2}\)
\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a^2+bc-a\left(b+c\right)\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a^4+b^2c^2-a^2\left(b^2+c^2\right)\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-c^2\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)
\(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4\left(c^2-a^2\right)+c^4\left(a^2-b^2\right)}\)
= \(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2c-c^2b-a\left(b^2-c^2\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4c^2-c^4b^2-a^2\left(a^4-b^4\right)}\)
= \(\frac{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(c-a\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-a^2\right)}\)
= \(\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)