Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Với mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3\).
\(f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy với \(k = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 1 = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 1 = 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {5 - x} \right) = 5 - 2 = 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 2 = 3\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3\).
Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1 + 2 = 3\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
a) Dễ thấy x = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 1 = 1\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {0^2} + 1 = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 - x} \right) = 1 - 0 = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1 = f\left( 0 \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\).
b)Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định của hàm số.
\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = {1^2} + 2 = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \(x = 1\).
\(\lim\limits_{x\rightarrow5}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{\sqrt{2x-9}-1}{5-x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{2x-9-1}{\sqrt{2x-9}+1}\cdot\dfrac{1}{5-x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{2\left(x-5\right)}{-\left(x-5\right)\left(\sqrt{2x-9}+1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{-2}{\sqrt{2x-9+1}}=\dfrac{-2}{\sqrt{10-9}+1}=-\dfrac{2}{2}=-1\)
f(5)=3
=>\(\lim\limits_{x\rightarrow5}f\left(x\right)< >f\left(5\right)\)
=>Hàm số bị gián đoạn tại x=5
Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm căn thức xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\), hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm lượng giác xác định trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = \sqrt {0 + 4} = 2\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {x + 4} = \sqrt {0 + 4} = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 2\cos x = 2\cos 0 = 2\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2 = f\left( 0 \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\).
Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21\\f\left( 4 \right) = 2.0 + 1 = 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) \ne f\left( 4 \right)\end{array}\)
Do đó hàm số không liên tục tại x = 4.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21\\f\left( 4 \right) = 2a + 1\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 4 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \;21{\rm{ }} = {\rm{ }}2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1}\\{ \Leftrightarrow \;2a{\rm{ }} = {\rm{ }}20}\\{ \Leftrightarrow \;a{\rm{ }} = {\rm{ }}10}\end{array}\)
Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.
c) TXĐ: \(\mathbb{R}\)
Với \(x\; \in \;\left( {-{\rm{ }}\infty ;{\rm{ }}4} \right)\) có \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Với \(x\; \in \;\left( {4;{\rm{ }} + \infty } \right)\) có \(f\left( x \right) = 2a + 1\) liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm x = 4 khi a = 10.
Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 2 \right) = {2^2} + 2.2 + m = m + 8\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + m} \right) = {2^2} + 2.2 + m = m + 8\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( 3 \right) = 3\end{array}\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục liên tục tại \(x = 2\) thì
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow m + 8 = 3 \Leftrightarrow m = - 5\).
Vậy với \(m = - 5\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\).
Chọn D.
Đề lỗi công thức toán rồi bạn. Không nhìn thấy được biểu thức hiển thị.
a) \(f\left( 3 \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = - 8\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
b) \(f\left( 1 \right) = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) = - 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).