Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(yz\sqrt{x-1}=yz\sqrt{\left(x-1\right)1}\le yz\frac{\left(x-1\right)+1}{2}=\frac{xyz}{2}\);
\(zx\sqrt{y-4}=\frac{zx}{2}\sqrt{\left(y-4\right)4}\le\frac{zx}{2}\frac{\left(y-4\right)+4}{2}=\frac{xyz}{4}\);
\(xy\sqrt{z-9}=\frac{xy}{3}\sqrt{\left(z-9\right)9}\le\frac{xy}{3}\frac{\left(z-9\right)+9}{2}=\frac{xyz}{6}\)
\(\Rightarrow\frac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt{y-4}+xy\sqrt{z-9}}{xyz}\le\frac{\frac{xyz}{2}+\frac{xyz}{4}+\frac{xyz}{6}}{xyz}\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\)
Vậy \(P_{max}=\frac{11}{12}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2;y=8;z=18\)
\(P=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{z-9}}{z}\).
Áp dụng BĐT AM - GM ta có: \(x=x-1+1\geq 2\sqrt{x-1};y=y-4+4\geq 4\sqrt{y-4};z=z-9+9\geq 6\sqrt{z-9}\).
Do đó \(P\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}\).
...
Ta sẽ chứng minh
\(\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x}\le\frac{2+\sqrt{2}}{2}\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x}\right)^2\le\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\left(x^2+1\right)-4\sqrt{x\left(x^2+1\right)}+\left(2\sqrt{2}-1\right)x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2x}\right)\left(\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\sqrt{x^2+1}-\frac{4-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}\right)\ge0\)
BĐT trên luôn đúng do \(x^2+1\ge2x\)
Vậy ta có:\(\text{∑}\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x}\le\text{∑}\frac{2+\sqrt{2}}{2}\left(x+1\right)\le6+3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có :
\(\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(1+x^2+2x\right)=2\left(x+1\right)^2\text{ nên }\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\\\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\end{cases}}\)
Nên \(A\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le6\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
giải bằng Bunhiaskopki nha bạn, search gg
Ta có P \(\le\dfrac{1^2+\left(\sqrt{x-1}\right)^2}{2}+\dfrac{2^2+\left(\sqrt{y-4}\right)^2}{2}+\dfrac{3^2+\left(\sqrt{z-9}\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{1+x-1+4+y-4+9+z-9}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{28}{2}=14\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}1=\sqrt{x-1}\\2=\sqrt{y-4}\\3=\sqrt{z-9}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2;y=8;z=18\)(tm)