Câu hỏi của Võ Thị Kim Dung

Question

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng d:

Võ Đông Anh Tuấn · Accepted Answer

a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P) ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ; vectơ $\overrightarrow{k}$ (0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của (Oxy), khi đó $\overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{u}$ ( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

$\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ]$ = (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0

hay 2x - y - 7 = 0.

Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:

$\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.$

Điểm M₀( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$ của ∆ vuông góc với $\overrightarrow{k}$ và vuông góc với $\overrightarrow{n}$ , vậy có thể lấy $\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]$ = (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:

$\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.$ .

Chú ý :

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:

Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.

Chẳng hạn lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của

M₁ trên (Oxy) là N₁(2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oxy) là N₂(0 ; -7 ; 0).

Đườn thẳng ∆ qua N₁, N₂ chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oxy).

Ta có : $\overrightarrow{N_{1}N_{2}}$ (-2 ; -4 ; 0) // $\overrightarrow{v}$ (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của ∆ có dạng:

$\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y = -3 +2t & t \in R\\ z =0& \end{matrix}\right.$ .

b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.

lấy M₁( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M₂( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của

M₁ trên (Oxy) là M'₁(0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M₂ trên (Oyz) là chính nó.

Đườn thẳng ∆ qua M'₁, M₂ chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).

Ta có: $\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}$ (0 ; -4 ; -6) // $\overrightarrow{v}$ (0 ; 2 ; 3).

Phương trình M'₁M₂ có dạng:

$\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.$ .

Câu trả lời: