Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d có phương trình:
\(2\left(x-1\right)+2\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x+2y+z-1=0\)
Đường thẳng d' song song d và đi qua B (nên d' vuông góc (P)) có dạng:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=4+2t\\y=2+2t\\z=-2+t\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Giao điểm C của d' và (P) thỏa mãn:
\(2\left(4+2t\right)+2\left(2+2t\right)-2+t-1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C\left(2;0;-3\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-4\right)\Rightarrow\) là 1 vtcp của \(\Delta\Rightarrow\) D là đáp án đúng
\(I=\int\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2\left(x^2+1\right)}dx=\int\left(\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx\)
\(=\int\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}dx-\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=I_1-I_2\)
Xét \(I_1=\int\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\sqrt{x^2+1}\\dv=\dfrac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx\\v=-\dfrac{1}{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+I_2\)
\(\Rightarrow I=-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+I_2-I_2=-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+C\)
2.
Gọi d' là hình chiếu của d lên Oxy, M là giao điểm của d và Oxy
Khi đó với mọi đường thẳng d'' nào đó đi qua M thì đều tạo với d 1 góc lớn hơn góc giữa d và d'
Hay góc giữa (P) và Oxy nhỏ nhất là góc giữa d và d'
Điều này xảy ra khi d và d' vuông góc \(d_1\) , trong đó \(d_1\) là giao tuyến của (P) và Oxy
Tới đây thì chắc đơn giản:
- Tìm vtcp \(\overrightarrow{u_{d_1}}\) với \(d_1\) thuộc Oxy, qua M và vuông góc d
- (P) sẽ nhận \(\left[\overrightarrow{u_d};\overrightarrow{u_{d1}}\right]\) là 1 vtpt và đi qua M
Bài này cần có 1 điều gì đó đặc biệt trong các đường - mặt để giải được (nếu ko chỉ dựa trên khoảng cách thông thường thì gần như bất lực). Thường khoảng cách dính tới đường vuông góc chung, thử mò dựa trên nó :)
Bây giờ chúng ta đi tìm đường vuông góc chung d3 của d1; d2, và hi vọng rằng giao điểm C của d3 với (P) sẽ là 1 điểm nằm giữa A và B với A và giao của d1 và d3, B là giao của d2 và d3 (nằm giữa chứ ko cần trung điểm), thường ý tưởng của người ra đề sẽ là như vậy. Khi đó điểm M sẽ trùng C. Còn C không nằm giữa A và B mà nằm ngoài thì đầu hàng cho đỡ mất thời gian (khi đó việc tìm cực trị sẽ rất lâu).
Quy pt d1 và d2 về dạng tham số, gọi A là 1 điểm thuộc d1 thì \(A\left(t+1;t+2;2t\right)\) và B là 1 điểm thuộc d2 thì \(B\left(t'+1;2t'+3;3t'+4\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(t'-t;2t'-t+1;3t'-2t+4\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d1}}=0\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d2}}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t'-t+2t'-t+1+2\left(3t'-2t+4\right)=0\\t'-t+2\left(2t'-t+1\right)+3\left(3t'-2t+4\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=0\\t'=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;2;0\right)\\B\left(0;1;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1;1-1\right)\)
Phương trình AB hay d3: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=-t\end{matrix}\right.\)
Giao điểm C của d3 và (P): \(2\left(1+t\right)+2\left(2+t\right)-2t-5=0\)
\(\Rightarrow C\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Ủa, ko chỉ nằm giữa luôn, mà người ta cho hẳn trung điểm cho cẩn thận :)
Vậy \(M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
B C A D H K J S
Kẻ \(SH\perp AC\left(H\in AC\right)\)
Do \(\left(SAC\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)
\(SA=\sqrt{AC^2-SC^2}=a;SH=\frac{SA.SC}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}=2a^2\)
\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.2a^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Ta có \(AH=\sqrt{SA^2-SH^2}=\frac{a}{2}\Rightarrow CA=4HA\Rightarrow d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)
Do BC//\(\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(B,\left(SAD\right)\right)=d\left(C,\left(SAD\right)\right)=4d\left(H,\left(SAD\right)\right)\)
Kẻ \(HK\perp AD\left(K\in AD\right),HJ\perp SK\left(J\in SK\right)\)
Chứng minh được \(\left(SHK\right)\perp\left(SAD\right)\) mà \(HJ\perp SK\Rightarrow HJ\perp\left(SAD\right)\Rightarrow d\left(H,\left(SAD\right)\right)=HJ\)
Tam giác AHK vuông cân tại K\(\Rightarrow HK=AH\sin45^0=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(\Rightarrow HJ=\frac{SH.HK}{\sqrt{SH^2+HK^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\)
Vậy \(d\left(B,\left(SAD\right)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{2a\sqrt{21}}{7}\)
Có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1:
(P) đi qua A, song song với hai đường thẳng d và BC. Vectơ chỉ phương của d là v → (-3; -1; 2) và BC → (-2; 4; 0).
Do đó n P → = v → ∧ BC → = (-8; -4; -14).
Phương trình mặt phẳng (P) là: -8(x - 1) - 4(y - 2) - 14(z - 1) = 0 hay 4x + 2y + 7z - 15 = 0
Trường hợp 2:
(P) đi qua A, đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC, và song song với d.
Ta có: FA → (0; 1; 0), FA → ∧ v → = (2; 0; 3).
Suy ra phương trình của (P) là: 2(x - 1) + 3(z - 1) = 0 hay 2x + 3z - 5 = 0.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow{v_d}\)=(1;1;2), \(\overrightarrow{AB}\)=(1;-1;0).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\overrightarrow{v_{\Delta}}=\left[\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v_d}\right],\overrightarrow{v_d}\right]=-6\left(1;-1;0\right)\).
Phương trình đường thẳng cần tìm là \(\Delta\): \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1-t\\z=1\end{matrix}\right.\).