Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,\(\frac{2}{1.3}+...\frac{2}{99.101}\)
\(=\frac{3-1}{1.3}+...+\frac{101-99}{99.101}\)
\(=\frac{3}{1.3}-\frac{1}{1.3}+...+\frac{101}{99.101}-\frac{99}{99.101}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\)
\(\frac{100}{101}\)
\(M=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{99^2}\)
\(\Rightarrow M< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)
\(\Rightarrow M< 1-\frac{1}{99}< 1\)
Dễ thấy M > 0 nên 0 < M < 1
Vậy M không là số tự nhiên.
\(S=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+...+\frac{1}{100}\) (50 số hạng \(\frac{1}{100}\))
\(\Rightarrow S>\frac{1}{100}.50=\frac{1}{2}\)
Vậy \(S>\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Câu 2:
b) ĐKXĐ: \(x\ne-1\)
Để \(\frac{3x+5}{x+1}\) là số nguyên thì \(3x+5⋮x+1\)
\(\Leftrightarrow3x+3+2⋮x+1\)
mà \(3x+3⋮x+1\)
nên \(2⋮x+1\)
\(\Leftrightarrow x+1\inƯ\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow x+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
hay \(x\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\)(tm)
Vậy: Khi \(x\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\) thì \(\frac{3x+5}{x+1}\) là số nguyên
Câu 3:
a) ĐKXĐ: \(n\ne-3\)
Gọi \(d=ƯCLN\left(n+4;n+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+4⋮d\\n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow n+4-n-3⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(n+4;n+3\right)=1\)
hay \(\frac{n+4}{n+3}\) là phân số tối giản(đpcm)
b) Gọi \(e=ƯCLN\left(n+2;2n+5\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+2⋮e\\2n+5⋮e\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+4⋮e\\2n+5⋮e\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2n+4-2n-5⋮e\)
\(\Leftrightarrow-1⋮e\Leftrightarrow e=1\)
hay \(ƯCLN\left(n+2;2n+5\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{n+2}{2n+5}\) là phân số tối giản
c) Gọi \(f=ƯCLN\left(2n+1;3n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮f\\3n+1⋮f\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮f\\6n+2⋮f\end{matrix}\right.\Leftrightarrow6n+3-6n-2⋮f\)
\(\Leftrightarrow1⋮f\Leftrightarrow f=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(2n+1;3n+1\right)=1\)
hay \(\frac{2n+1}{3n+1}\) là phân số tối giản(đpcm)
bài 2
a, TS= 54 . 107 -53=(53+1) .107-53=53.107+107-53=53.107+ 54
<=>
\(\frac{TS}{MS}\)=\(\frac{54.107+54}{54.107+54}\)=1
Bài 1 :
\(a)\) Gọi \(ƯCLN\left(n+1;2n+3\right)=d\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(2n+2\right)-\left(2n+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow\)\(2n+2-2n-3⋮d\)
\(\Rightarrow\)\(\left(-1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(-1\right)\)
Mà \(Ư\left(-1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
\(\Rightarrow\)\(d\in\left\{1;-1\right\}\)
Do đó :
\(ƯCLN\left(n+1;2n+3\right)=\left\{1;-1\right\}\)
Vậy \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản với mọi n
Chúc bạn học tốt ~
B1. Ta có: A= \(\frac{4n-1}{2n+3}+\frac{n}{2n+3}=\frac{4n-1+n}{2n+3}=\frac{5n-1}{2n+3}\)
=> 2A = \(\frac{10n-2}{2n+3}=\frac{5\left(2n+3\right)-17}{2n+3}=5-\frac{17}{2n+3}\)
Để A là số nguyên <=> 2A là số nguyên <=> \(\frac{17}{2n+3}\in Z\)
<=> 17 \(⋮\)2n + 3 <=> 2n + 3 \(\in\)Ư(17) = {1; -1; 17; -17}
Lập bảng:
| 2n + 3 | 1 | -1 | 17 | -17 |
| n | -1 | -2 | 7 | -10 |
Vậy ....
Bài 2:
Gọi d là ƯCLN (7n-1; 6n-1) (d thuộc N*)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}7n-1⋮d\\6n-1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6\left(7n-1\right)⋮d\\7\left(6n-1\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}42n-6⋮d\\42n-7⋮d\end{cases}}}\)
=> 42n-7-42n+6 chia hết cho d
=> -1 chia hết cho d
mà d thuộc N* => d=1
=> ƯCLN (7n-1; 6n-1)=1
=> đpcm
a) ta có:
\(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản thì:
\(\left(n+1;2n+3\right)=d\)
Điều Kiện;d thuộc N, d>0
=>\(\hept{\begin{cases}2n+3:d\\n+1:d\end{cases}}=>\hept{\begin{cases}2n+3:d\\2n+2:d\end{cases}}\)
=>2n+3-(2n+2):d
2n+3-2n-2:d
hay 1:d
=>d=1
Vỵ d=1 thì.....
Bài 2 :
Để A = (n+2) : (n-5) là số nguyên thì n+2 phải chia hết cho n-5
Mà n-5 chia hết cho n-5
=> (n+2) - (n-5) chia hết cho n-5
=> (n-n) + (2+5) chia hết cho n-5
=> 7 chia hết cho n-5
=> n-5 thuộc Ư(5) = { 1 : -1 ; 7 ; -7 }
Ta có bảng giá trị
| n-5 | 1 | -1 | 7 | -7 |
| n | 6 | 4 | 12 | -2 |
| A | 8 | -6 | 2 | 0 |
| KL | TMĐK | TMĐK | TMĐK | TMĐK |
Vậy với n thuộc { -2 ; 4 ; 6 ; 12 } thì A là số nguyên
1)
A = \(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+..+\frac{2}{99.101}\)
A = \(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+..+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\)
A = \(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\)
A = \(\frac{100}{101}\)
Vậy A = \(\frac{100}{101}\)
B = \(\frac{5}{1.3}+\frac{5}{3.5}+...+\frac{5}{99.101}\)
B = \(\frac{5}{2}\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{99.101}\right)\)
B = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\right)\)
B = \(\frac{5}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\right)\)
B = \(\frac{5}{2}.\frac{100}{101}\)
B = \(\frac{250}{101}\)
Vậy B = \(\frac{250}{101}\)
2)
Gọi ƯCLN ( 2n + 1 ; 3n + 2 ) = d ( d \(\in\)N* )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+1\right)⋮d\\2\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(6n+4\right)-\left(6n+3\right)⋮d\Rightarrow1⋮d}\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\frac{2n+1}{3n+2}\)là p/s tối giản
Gọi ƯCLN ( 2n+3 ; 4n+4 ) = d ( d \(\in\)N* )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\4n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\\left(4n+4\right):2⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\2n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d}\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy ...