Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Do C thuộc nửa đường tròn nên \(\widehat{ACB}=90^o\) hay AC vuông góc MB.
Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC nên áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(BC.BM=AB^2=4R^2\)
b) Xét tam giác MAC vuông tại C có CI là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên IM = IC = IA
Vậy thì \(\Delta ICO=\Delta IAO\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^o\)
Hay IC là tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn.
c) Xét tam giác vuông AMB có đường cao AC, áp dụng hệ thức lượng ta có:
\(MB.MC=MA^2=4IC^2\Rightarrow IC^2=\frac{1}{4}MB.MC\)
Xét tam giác AMB có I là trung điểm AM, O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình tam giác ABM.
Vậy thì \(MB=2OI\Rightarrow MB^2=4OI^2\) (1)
Xét tam giác vuông MAB, theo Pi-ta-go ta có:
\(MB^2=MA^2+AB^2=MA^2+4R^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(4OI^2=MA^2+4R^2.\)
d) Do IA, IC là các tiếp tuyến cắt nhau nên ta có ngay \(AC\perp IO\Rightarrow\widehat{CDO}=90^o\)
Tương tự \(\widehat{CEO}=90^o\)
Xét tứ giác CDOE có \(\widehat{CEO}=\widehat{CDO}=90^o\)mà đỉnh E và D đối nhau nên tứ giác CDOE nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Xét tứ giác CDHO có: \(\widehat{CHO}=\widehat{CDO}=90^o\) mà đỉnh H và D kề nhau nên CDHO nội tiếp đường tròn đường kính CO.
Vậy nên C, D, H , O, E cùng thuộc đường tròn đường kính CO.
Nói cách khác, O luôn thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE luôn đi qua điểm O cố định.
1) Do B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO nên \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy nên AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét tam giác vuông ABO có \(AO=R\sqrt{2};OB=R\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
\(AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=R\)
Vậy thì AC = AB = R.
2) Ta thấy tứ giác ABOC có AB = BO = OC = CA = R nên nó là hình thoi.
Lại có \(\widehat{ABO}=90^o\) nên ABOC là hình vuông.
3) Xét tam giác ADC và tam gác ACE có:
Góc A chung
\(\widehat{ACD}=\widehat{AEC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung DC)
\(\Rightarrow\Delta ADC\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow AD.AE=AC^2=R^2\) = hằng số.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có AM.AN = AB2 = R2 = hằng số.
Vậy nên AM.AN = AD.AE = R2.
4) Xét đường tròn (O), ta có K là trung điểm dây cung MN nên theo liên hệ đường kính dây cung, ta có: \(OK\perp MN\) hay \(\widehat{AKO}=90^o\)
Vậy thì K thuộc đường tròn đường kính OA.
Do AMN là cát tuyến nên K thuộc cung tròn BmC (trên hình vẽ).
5) Ta có ABOC là hình vuông nên AO và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy thì BC qua tâm I.
Từ đó ta có \(\widehat{IJO}=90^o\)
Lại vừa chứng minh được \(\widehat{JKO}=90^o\).
Tứ giác IJKO có tổng hai góc đối bằng 180o nên IJKO là tứ giác nội tiếp hay O, K, I, J cùng thuộc một đường tròn.
Ta có AB = AC nên \(\widebat{AB}=\widebat{AC}\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{CBA}=\widehat{JBA}\)
Vậy thì \(\Delta ABJ\sim\Delta AKB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AJ}{AB}\Rightarrow AJ.AK=AB^2\)
a) Tam giác vuông ABO và ACO có chung cạnh huyền AO nên O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB = AC nên ABC là tam giác cân tại A.
Lại có AO là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì AO đi qua H hay A, H, O thảng hàng.
Theo liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung, ta có \(\widehat{KDC}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có: \(\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Suy ra \(\widehat{KDC}=\widehat{COA}\)
Vậy thì \(\Delta KDC\sim\Delta COA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CK}{AC}=\frac{CD}{AO}\Rightarrow AC.CD=CK.AO\)
c) Ta thấy \(\widehat{ABN}=\widehat{NBC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung chắn các cung bằng nhau)
Vậy nên BN là phân giác góc ABC.
Lại có AN là phân giác góc BAC nên N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d) Gọi J là trực tâm tam giác ABC. Ta có ngay \(JC\perp AB;BJ\perp AC\)
Vậy thì BO // JC ; BJ // OC
Suy ra tứ giác JBOC là hình bình hành.
Lại có OB = OC nên JBOC là hình thoi.
Từ đó ta có JB = JC = OB = OC = R.
Vậy khi A di chuyển trên tia By cố định thì BJ = R hay J thuộc đường tròn tâm B, bán kính R.