Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
\(a+b=-c\Rightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
\(\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}=\frac{ab}{-2ab}=-\frac{1}{2}\)
tương tự \(\Rightarrow A=\frac{-3}{2}\)
Ta có \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(a+b+c=0\) hoặc \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
Giả sử \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) a = b hoặc b = c hoặc c = a
Mà a, b, c đôi một khác nhau (vô lí) => a + b + c = 0
Do đó \(\hept{\begin{cases}-c=a+b\\-b=a+c\\-a=b+c\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}c^2=a^2+2ab+b^2\\b^2=a^2+2ac+c^2\\a^2=b^2+2bc+c^2\end{cases}}\)
Hay \(P=\frac{ab^2}{a^2+b^2-a^2-2ab-b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2-b^2-2bc-c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2-c^2-2ca-a^2}\)
\(=\frac{ab^2}{-2ab}+\frac{bc^2}{-2bc}+\frac{ca^2}{-2ca}=\frac{-1}{2}\left(a+b+c\right)=0\)
Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Tính \(P=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\)
P= abc(\(\frac{1}{^{a^3}}\)+\(\frac{1}{b^3}\)+\(\frac{1}{c^3}\)) = abc[(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))3+\(\frac{1}{c^3}\)-\(\frac{3}{a^2b}\)-\(\frac{3}{ab^2}\)]=abc[(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))(....)- \(\frac{3}{a^2b}\)-\(\frac{3}{ab^2}\)]
=abc.(- \(\frac{3}{a^2b}\)-\(\frac{3}{ab^2}\)) =-3(\(\frac{c}{a}\)+\(\frac{c}{b}\)) = -3c(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)) = -3c.\(\frac{-1}{c}\)=3
P = 3
Đầu tiên,bạn cần chứng minh x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz ( Bạn ko biết c/m thì hỏi nhé)
Thay\(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}=\frac{3}{abc}\)
\(\Rightarrow M=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}=abc\left(\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)=abc.\frac{3}{abc}=3\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Có: \(a+b+c=0\)
=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) (tự chứng minh)
\(A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)