Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chúng ta tính giới hạn sau:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}\)
Cách đơn giản nhất là sử dụng L'Hopital:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-x^{\dfrac{1}{n}}}{1-x}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-\dfrac{1}{n}x^{\dfrac{1}{n}-1}}{-1}=\dfrac{1}{n}\)
Phức tạp hơn thì tách mẫu theo hằng đẳng thức
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-\sqrt[x]{n}}{\left(1-\sqrt[n]{x}\right)\left(1+\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{x^2}+...+\sqrt[n]{x^{n-1}}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{1+\sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{x^2}+...+\sqrt[n]{x^{n-1}}}=\dfrac{1}{n}\)
Tóm lại ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}=\dfrac{1}{n}\)
Do đó:
\(I_1=\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{1-\sqrt[2]{x}}{1-x}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}\right)...\left(\dfrac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}...\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n!}\)
Câu 2 cũng vậy: L'Hopital hoặc tách hằng đẳng thức trâu bò (thôi L'Hopital đi cho đỡ sợ)
\(I_2=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{n\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{n-1}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right)-n\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^{n-1}\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}-1\right)}{1}\)
\(=\dfrac{n.1-n\left(-1\right)}{1}=2n\)
a) lim= - 1/0 = - vô cùng
d) lim x(x^99-2)+1/ x(x^49-2)+1 =lim (x^99-2)/(x^49-2)=1
Lời giải:\(\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)=\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{1}{1-x}-\frac{n}{1-x^n}+\frac{1}{1-x}\right)\)
\(=\lim\limits_{x\to 1}\left[\frac{m-(1+x+...+x^{m-1})}{1-x^m}-\frac{n-(1+x+..+x^{n-1})}{1-x^n}\right]\)
\(=\lim\limits_{x\to 1}\left[\frac{(1-x)+(1-x^2)+...+(1-x^{m-1})}{1-x^m}-\frac{(1-x)+(1-x^2)+...+(1-x^{n-1})}{1-x^n}\right]\)
\(\lim\limits_{x\to 1}\left[\frac{1+(x+1)+...+(1+x+...x^{m-2})}{1+x+...+x^{m-1}}-\frac{1+(1+x)+...+(1+x+...+x^{n-2})}{1+x+...x^{n-1}}\right]\)
\(=\frac{m(m-1)}{2m}-\frac{n(n-1)}{2n}=\frac{m-1}{2}-\frac{n-1}{2}=\frac{m-n}{2}\)
C2: Xài L'Hospital
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{m-m.x^n-n+n.x^m}{1-x^m-x^n+x^{m+n}}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{m.n.x^{m-1}-m.n.x^{n-1}}{\left(m+n\right)x^{m+n-1}-m.x^{m-1}-n.x^{n-1}}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{m.n.\left(m-1\right).x^{m-2}-m.n.\left(n-1\right).x^{n-2}}{\left(m+n\right).\left(m+n-1\right)x^{m+n-2}-m\left(m-1\right)x^{m-2}-n\left(n-1\right)x^{n-2}}\)
\(=\dfrac{m^2n-mn-mn^2+mn}{m^2+2mn-m+n^2-n-m^2+m-n^2+n}=\dfrac{mn\left(m-n\right)}{2mn}=\dfrac{m-n}{2}\)
Bài này chắc chỉ xài L'Hopital chứ tách nhân tử thì không biết đến bao giờ mới xong:
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(n-1\right)x^{n-2}-\left(n+1\right)}{2\left(x-1\right)}=\dfrac{-2}{0}=-\infty\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{f\left(x\right)-2x+1}{x-1}=3\rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(f\left(x\right)-2x+1\right)=0\\ \rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{3f\left(x\right)+1}-x-1}{\sqrt{4x+5}-3x-2}=\dfrac{\sqrt{3.1+1}-1-1}{\sqrt{4.1+5}-3.1-2}=0\)
a) Ta có (x - 2)2 = 0 và (x - 2)2 > 0 với ∀x ≠ 2 và
(3x - 5) = 3.2 - 5 = 1 > 0.
Do đó
= +∞.
b) Ta có (x - 1) và x - 1 < 0 với ∀x < 1 và
(2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 <0.
Do đó
= +∞.
c) Ta có (x - 1) = 0 và x - 1 > 0 với ∀x > 1 và
(2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 < 0.
Do đó
= -∞.
1/ \(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(\dfrac{x-2}{x^3}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\dfrac{2-x}{-x^3}=\dfrac{2}{0}=+\infty\)
2/ \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\left(x^3-x^2\right)^{\dfrac{1}{2}}}{\left(x-1\right)^{\dfrac{1}{2}}+1-x}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x^3-x^2\right)^{-\dfrac{1}{2}}.\left(3x^2-2x\right)}{\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)^{-\dfrac{1}{2}}-1}=0\)
3/ \(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{1-\left(x^2+x+1\right)}{x^3-1}=\dfrac{1-3}{0}=-\infty\)
4/ \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(-\infty-\sqrt[3]{1+\infty}\right)=-\left(\infty+\infty\right)=-\infty?\) Cái này ko chắc :v
Ta có: \(\dfrac{n}{1-x^n}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{n-\left(1+x+x^2+...+x^{n-1}\right)}{1-x^n}\)
\(=\dfrac{1-x+1-x^2+...+1-x^{n-1}}{1-x^n}\)
\(=\dfrac{1+\left(1+x\right)+\left(1+x+x^2\right)+...+1+x+x^2+...+x^{n-2}}{1+x+x^2+...+x^{n-1}}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(\dfrac{n}{1-x^n}-\dfrac{1}{1-x}\right)=\dfrac{n-1}{2}\)