DT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
GN
0
15 tháng 9 2020
1) \(A=\left(\frac{x^3-1}{x-1}+x\right)\times\left(\frac{x^3+1}{x+1}-x\right)\)( vầy hả ? )
ĐKXĐ : \(x\ne\pm1\)
\(=\left[\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}+x\right]\times\left[\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}-x\right]\)
\(=\left(x^2+x+1+x\right)\left(x^2-x+1+x\right)\)
\(=\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2+1\right)\)
\(=\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right)\)
2) Gọi tử số của phân số đó là x ( x ∈ Z )
=> Mẫu số của phân số đó là x + 5
=> Phân số cần tìm có dạng \(\frac{x}{x+5}\)
Thêm 1 vào tử thì ta có phân số = 1/2
=> Ta có phương trình : \(\frac{x+1}{x+5}=\frac{1}{2}\)( ĐKXĐ : x \(x\ne-5\))
<=> ( x + 1 ).2 = ( x + 5 ).1
<=> 2x + 2 = x + 5
<=> 2x - x = 5 - 2
<=> x = 3 ( tmđk )
=> Phân số cần tìm là \(\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}\)
3) Q = x2 + y2 - 6x + 8y + 19
= ( x2 - 6x + 9 ) + ( y2 + 8y + 16 ) - 6
= ( x - 3 )2 + ( y + 4 )2 - 6 ≥ -6 ∀ x, y
Đẳng thức xảy ra <=> x = 3 ; y = -4
=> MinQ = -6 <=> x = 3 ; y = -4
K = \(\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{x^2-16x+64}+100\)
Ta có hẳng đẳng thức \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\)
\(=\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x-8\right)^2}+100\)
\(=\left|x-3\right|+\left|x-8\right|+100\)
\(=\left|x-3\right|+\left|8-x\right|+100\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)ta có :
\(K=\left|x-3\right|+\left|8-x\right|+100\ge\left|x-3+8-x\right|+100=\left|5\right|+100=105\)
Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)
=> \(\left(x-3\right)\left(8-x\right)\ge0\)
Xét hai trường hợp :
1. \(\hept{\begin{cases}x-3\ge0\\8-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge3\\-x\ge-8\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge3\\x\le8\end{cases}}\Leftrightarrow3\le x\le8\)
2. \(\hept{\begin{cases}x-3\le0\\8-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le3\\-x\le-8\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le3\\x\ge8\end{cases}}\)( loại )
=> MinK = 105 <=> \(3\le x\le8\)
8 tháng 7 2016
Các biểu thức dưới dấu căn đều dương
Đat \(\sqrt{x^2-6x+19}=a\ge0,\sqrt{x^2-6x+10}=b\ge0\)
Ta có \(a-b=3\)và \(a^2-b^2=9\)
\(\Rightarrow a+b=9\)
Do \(a+b>a-b\) nên \(b>0\)\(\Leftrightarrow a>0\)
Vậy giá trị của biểu thức A = 9
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(F=\frac{x^4}{x^2\sqrt{y}}+\frac{y^4}{y^2\sqrt{x}}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2\sqrt{y}+y^2\sqrt{x}}=\frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp AM-GM:
$(y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y})^2\leq (y^2+x^2)(y^2x+x^2y)=2xy(x+y)$
$\leq (x^2+y^2)\sqrt{2(x^2+y^2)}=2\sqrt{2.2}=4$
$\Rightarrow y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{y}\leq 2$
$\Rightarrow F\geq \frac{4}{y^2\sqrt{x}+x^2\sqrt{x}}\geq \frac{4}{2}=2$
Vậy $F_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$
1 tháng 10 2015
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
1 tháng 10 2015
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
TF
1
DP
28 tháng 7 2017
\(x^2-6x+9=4.\sqrt{x^2-6x+6}\)\(ĐK:x^2-6x+6\ge0\)
Đặt \(\sqrt{x^2-6x+6}=t\)\(\left(ĐK:t\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2=x^2-6x+6\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x=t-6\)thay vào pt ta được :
\(\Leftrightarrow t^2-6+9=4t\)
\(\Leftrightarrow t^2-4t+3=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=3\end{cases}}\)
Với \(t=1\Rightarrow\sqrt{x^2-6x+6}=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+5=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(TM\right)\\x=5\left(TM\right)\end{cases}}\)
Với \(t=3\Rightarrow\sqrt{x^2-6x+6}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+6=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3+\sqrt{6}\left(TM\right)\\x=3-\sqrt{6}\left(TM\right)\end{cases}}\)