KF
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 10 2016
a)\(\sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2\RightarrowĐk:\frac{2x-3}{x-1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge\frac{3}{2}\\x< 1\end{array}\right.\)
\(\sqrt{\frac{2x-3}{x-1}}=2\Rightarrow\frac{2x-3}{x-1}=4\)
\(\Leftrightarrow2x-3=4\left(x-1\right)\Leftrightarrow2x-3=4x-4\)
\(\Leftrightarrow2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)(nhận)
b)\(\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\RightarrowĐk:\begin{cases}2x-3\ge0\\x-1>0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow x\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}=2\sqrt{x-1}\)
\(\Leftrightarrow2x-3=4x-4\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)(loại)
c)\(\sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}=3\RightarrowĐk:\frac{4x+3}{x+1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge\frac{-3}{4}\\x< -1\end{array}\right.\)
\(\sqrt{\frac{4x+3}{x+1}}=3\Rightarrow\frac{4x+3}{x+1}=9\)
\(\Leftrightarrow4x+3=9\left(x+1\right)\Leftrightarrow4x+3=9x+9\)
\(\Leftrightarrow5x=-6\Leftrightarrow x=\frac{-6}{5}\)(nhận)
c)\(\frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3\RightarrowĐk:\begin{cases}4x+3\ge0\\x+1>0\end{cases}\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{-3}{4}\)
\(\frac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3\Rightarrow\sqrt{4x+3}=3\sqrt{x+1}\)
\(\Leftrightarrow4x+3=9\left(x+1\right)\Leftrightarrow4x+3=9x+9\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-6}{5}\)(loại)
15 tháng 8 2017
Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{yz}}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
CỘng theo vế 3 BĐT trên có:
\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
Khi x=y=z
15 tháng 8 2017
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(..........................\)
\(\frac{1}{\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{10}=\frac{100}{10}=10\)
LP
4
ML
8 tháng 8 2016
a) Cách 1:
\(pt\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge0\\y^2=\left(x+2\right)^2+1\text{ (1)}\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[y+x+2\right]\left[y-\left(x+2\right)\right]=1\)
\(\Leftrightarrow\left(y+x+2\right)\left(y-x-2\right)=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+x+2=1\\y-x-2=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y+x+2=-1\\y-x-2=-1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)(nhận) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}}\)(loại)
Cách 2: Để y nguyên thì biểu thức trong căn phải là một số chính phương
\(A=x^2+4x+5=\left(x+2\right)^2+1=t^2+1\)
+Với \(t=0\) thì \(A=1=1^2\), là một số chính phương --> thỏa
+Với \(t>0\), ta có: \(t^2< t^2+1< \left(t+1\right)^2\)(chứng minh bằng biến đổi tương đương)
A là một số nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên A ko thể là số chính phương --> loại
+Với \(t< 0\) thì \(t^2< t^2+1< \left(t-1\right)^2\)(chứng minh bằng biến đổi tương đương)
A là một số nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên A ko thể là số chính phương --> loại
Vậy t chỉ có thể bằng 0;
\(t=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2=0\\y=\sqrt{0^2+1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}}\)
8 tháng 8 2016
a/ y2 = (x2 +2)2 +1 <=> (y-x2 -2)(y+x2 +2)=1 vì x,y nguyên nên 2 đa thức ở vế trái cùng bằng 1 hoặc -1
TN
1
TN
7 tháng 7 2018
\(\left(\sqrt{x^2-4x+5}\right)\) \(+\left(\sqrt{9y^2-6y+1}\right)\)\(=1\)
<=>\(\left(\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\right)\) \(+\sqrt{\left(3y-1\right)^2}\)\(=1\)
<=>\(\left(x-2\right)^2+1+\left(3y-1\right)^2\) \(=1\)
<=>\(\left(x-2\right)^2+\left(3y-1\right)^2=0\)
<=>\(\orbr{\begin{cases}\left(x-2\right)^2=0\\\left(3y-1\right)^2=0\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x=2\\y=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
KN
1 tháng 11 2022
\(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)
\(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+1=u\\y-2=v\end{cases}}\Rightarrow A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\)(với \(u,v\inℝ\))
Điều kiện đã cho ban đầu trở thành \(\left(u+1\right)\left(v+1\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow uv+u+v+1=\frac{9}{4}\Leftrightarrow uv+u+v=\frac{5}{4}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(2u-1\right)^2\ge0\forall u\inℝ\\\left(2v-1\right)^2\ge0\forall v\inℝ\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4u^2-4u+1\ge0\\4v^2-4v+1\ge0\end{cases}}\forall u,v\inℝ\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4u^2+1\ge4u\\4v^2+1\ge4v\end{cases}}\Rightarrow u^2+v^2\ge u+v-\frac{1}{2}\forall u,v\inℝ\)(*)
và \(\left(u-v\right)^2\ge0\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow u^2-2uv+v^2\ge0\forall u,v\inℝ\)
\(\Rightarrow u^2+v^2\ge2uv\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv\forall u,v\inℝ\)(**)
Cộng theo vế của (*) và (**), ta được: \(\frac{3}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv+u+v-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow u^2+v^2\ge\frac{1}{2}\)(**
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được:
\(A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\ge\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+4}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(u=v=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\)đạt được khi \(x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)
T
24 tháng 2 2020
Đặt \(a=2+x;b=y-1\) thì \(ab=\frac{9}{4}\)
Thì \(\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}\)
và \(\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}=\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\) (cái này dùng phương pháp đồng nhất hệ số là xong)
Vậy ta tìm Min \(A=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}+\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\)
\(=\sqrt{\left(a^4-4a^3+4a^2\right)+2\left(a^2-2a+1\right)}+\sqrt{\left(b^4-4b^3+4b^2\right)+2\left(b^2-2b+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2-2a\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(a-1\right)\right]^2}+\sqrt{\left(b^2-2b\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(b-1\right)\right]^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a^2+b^2-2a-2b\right)^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-2\left(a+b\right)\right]^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{t^2}{2}-2t\right)^2+2\left(t-2\right)^2}\left(t=a+b\ge2\sqrt{ab}=3\right)\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(t-1\right)\left(t-3\right)\left(t^2-4t+5\right)+\frac{17}{4}}\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Trình bày hơi lủng củng, sr.
1)
\(\sqrt{-x}=2\\ \Leftrightarrow\sqrt{-1.x}=2\\\Leftrightarrow \sqrt{-1.x}=\sqrt{4}\\ \Leftrightarrow-1.x=4\\ \Leftrightarrow x=-4\)
Vậy \(S=\left\{-4\right\}\)
\(2)\sqrt{4x^2-4x+1}=3\\\Leftrightarrow \sqrt{\left(2x-1\right)^2}=3\\\Leftrightarrow\left|2x-1\right| =3\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=3\\2x-1=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=4\\2x=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\x=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(S=\left\{-1;2\right\}\)
bổ xung tí
1) \(ĐK:-x\ge0\Leftrightarrow x\le0\)
\(2)4x^2-4x+1\ge0\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\in R\)