Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu a, đặt x+1/y=a;y+1/x=b. đề bài tương đương vs việc giải pt:
a+b=9/2 (1)
ab=9/2 (2)
lấy (1) bình phương lên, khai triển ra ( tự làm ) rồi trừ đi 4 lần (2), ta được a^2-2ab+b^2=9/4
<=> (a-b)^2=9/4
<=> a-b= +- 3/4 (đã có tổng và đã có hiệu, giải như bài toán cấp 1 thui)
tìm đc a,b rùi thì tìm đc x và y dễ như bỡn!
Câu b, ( giải chi tiết hơn):
gọi 2 pt lần lượt là (1) và (2) nha
Nhận xét: nếu x=y thay vào (1) ta đc pt vô nghiệm => x khác y => x-y khác 0
Nhân (1) với (x-y), ta đc x^3-y^3=7(x-y) (4)
Nhận xét: Nếu x^2=y^2 thay vào (2) ta đc pt vô nghiệm => x^2 khác y^2 => x^2-y^2 khác 0
Nhân (2) với (x^2-y^2), ta đc x^6-y^6=21(x^2-y^2)
<=> (x^3-y^3)(x^3+y^3)=21(x+y)(x-y) (5)
thế (4) vào (5), ta rút gọn 2 bên với 7(x-y), còn lại đc: (x+y)(x^2-xy+y^2)=3(x+y)
<=> x^2-xy+y^2=3 (6)
cộng (1) với (6) lại rùi chia mỗi vế đi 2, ta đc x^2+y^2=5
trừ (1) với (6), ta được xy=2
Từ 2 cái trên cộng rùi trừ vs nhau, viết thành hàng đẳng thức rùi khai căn ra luôn x và y, chúc bạn học tốt ^^
a) \(ĐKXĐ:x,y\ne0;x\ne\pm y\)
Ta có : \(A=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x^2-y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2-x^2}\right]\)
\(=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2.\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)^2.\left(x+y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x-y\right)^2.\left(x+y\right)^2}-\frac{x^2.\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2-y^2\right).\left(x^2-y^2\right)}\right]\)
\(=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2.\left(x^2+2xy+y^2\right)-2x^2y-x^2.\left(x^2-y^2\right)}{\left(x-y\right)^2.\left(x+y\right)^2}\right]\)
\(=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{x^2y^2+y^4+2xy^3-2x^2y-x^4+x^2y^2}{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2}\right]\)
Đề này lỗi mình nghĩ vậy vì trên tử kia không đẹp lắm.....
\(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)
\(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+1=u\\y-2=v\end{cases}}\Rightarrow A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\)(với \(u,v\inℝ\))
Điều kiện đã cho ban đầu trở thành \(\left(u+1\right)\left(v+1\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow uv+u+v+1=\frac{9}{4}\Leftrightarrow uv+u+v=\frac{5}{4}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(2u-1\right)^2\ge0\forall u\inℝ\\\left(2v-1\right)^2\ge0\forall v\inℝ\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4u^2-4u+1\ge0\\4v^2-4v+1\ge0\end{cases}}\forall u,v\inℝ\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4u^2+1\ge4u\\4v^2+1\ge4v\end{cases}}\Rightarrow u^2+v^2\ge u+v-\frac{1}{2}\forall u,v\inℝ\)(*)
và \(\left(u-v\right)^2\ge0\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow u^2-2uv+v^2\ge0\forall u,v\inℝ\)
\(\Rightarrow u^2+v^2\ge2uv\forall u,v\inℝ\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv\forall u,v\inℝ\)(**)
Cộng theo vế của (*) và (**), ta được: \(\frac{3}{2}\left(u^2+v^2\right)\ge uv+u+v-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow u^2+v^2\ge\frac{1}{2}\)(**
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được:
\(A=\sqrt{u^4+1}+\sqrt{v^4+1}\ge\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(u^2+v^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+4}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(u=v=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{\sqrt{17}}{2}\)đạt được khi \(x=-\frac{1}{2};y=\frac{5}{2}\)
Đặt \(a=2+x;b=y-1\) thì \(ab=\frac{9}{4}\)
Thì \(\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}\)
và \(\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}=\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\) (cái này dùng phương pháp đồng nhất hệ số là xong)
Vậy ta tìm Min \(A=\sqrt{a^4-4a^3+6a^2-4a+2}+\sqrt{b^4-4b^3+6b^2-4b+2}\)
\(=\sqrt{\left(a^4-4a^3+4a^2\right)+2\left(a^2-2a+1\right)}+\sqrt{\left(b^4-4b^3+4b^2\right)+2\left(b^2-2b+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^2-2a\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(a-1\right)\right]^2}+\sqrt{\left(b^2-2b\right)^2+\left[\sqrt{2}\left(b-1\right)\right]^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(a^2+b^2-2a-2b\right)^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-2\left(a+b\right)\right]^2+2\left(a+b-2\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{t^2}{2}-2t\right)^2+2\left(t-2\right)^2}\left(t=a+b\ge2\sqrt{ab}=3\right)\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(t-1\right)\left(t-3\right)\left(t^2-4t+5\right)+\frac{17}{4}}\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Trình bày hơi lủng củng, sr.
Đặt Q = \(\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}\) = \(\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
Q = \(\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\) = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
Q = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}\) = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2=}2xy\)
\(\Leftrightarrow\)Q = \(\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)Q = \(\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)= \(1\)
Đẳng thức xảy ra : \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\Rightarrow\\xy=4\end{cases}x=y=2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 \(\Leftrightarrow x=y=2\)
CMR: \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2021}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2021}⋮4\)
đặt \(a=2+\sqrt{3}\); \(b=2-\sqrt{3}\)
suy ra: \(a+b=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\)
và : \(ab=\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=1\)
Ta có: \(a^{2021}+b^{2021}=\left(a+b\right)\left(a^{2020}-a^{2019}b+a^{2018}b^2-...+a^{1010}b^{1010}-...-ab^{2019}+b^{2020}\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^{2020}-a^{2018}ab+a^{2016}a^2b^2-...+a^{1010}b^{1010}-...-abb^{2018}+b^{2020}\right)\)
Vì \(a+b=4\);\(ab=1\)nên:
\(a^{2021}+b^{2021}=4\left(a^{2020}-a^{2018}+a^{2016}-...+1-...-b^{2018}+b^{2020}\right)\)
\(=4\left(a^{2020}+b^{2020}-\left(a^{2018}+b^{2018}\right)+a^{2016}+b^{2016}-...+1\right)\)
\(=4\left(\left(a+b\right)^{2020}-2\left(ab\right)^{1010}-\left(a+b\right)^{2018}+2\left(ab\right)^{1009}+\left(a+b\right)^{2016}-2\left(ab\right)^{1008}-...+1\right)\)\(=4\left(4^{2020}-2-4^{2018}+2+4^{2016}-2-...+1\right)\)
\(=4S\)(Với \(S\inℕ^∗\))
suy ra \(a^{2021}+b^{2021}=4S⋮4\)
Vậy \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2021}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2021}⋮4\left(đpcm\right)\)
Ai tick mik vài cái cho tròn 170 với
haizz
kho wa