Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy :
\(\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x^2-4x+4\right)+1}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\ge\sqrt{1}=1\)
\(\sqrt{x^2-4x+8}=\sqrt{\left(x^2-4x+4\right)+4}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)
\(\sqrt{x^2-4x+9}=\sqrt{\left(x^2-4x+4\right)+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2-4x+9}\ge3+\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}=1\\\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}=2\\\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}=\sqrt{5}\end{cases}\Rightarrow x=2}\)
Vậy \(x=2\)
\(VT=\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2-4x+9}\)
\(=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\)
\(\ge1+2+\sqrt{5}=3+\sqrt{5}=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=2\)
Ta thấy PT xác định với mọi x thực.
Đặt \(a=\sqrt{x^2-4x+5}\ge1\).
\(PT\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}=3+\sqrt{5}\left(1\right)\).
Nhận thấy a = 1 thoả mãn.
Nếu \(a>1\Rightarrow VT_{\left(1\right)}>3+\sqrt{5}\)
Do đó a = 1 \(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\Leftrightarrow x=2\).
Vậy nghiệm của pt là x = 2.
Câu 1/ Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\ge1\\\sqrt{x^2-4x+8}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}\ge2\\\sqrt{x^2-4x+9}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\ge1+2+\sqrt{5}=VP\)
Dấu = xảy ra khi x = 2
PS: Câu còn lại thì chỉ cần phân tích cái trong căn thành số chính phương là xong.
Câu 2/ Sửa đề
\(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8+6\sqrt{x-1}}=5\)
Điều kiện: \(x\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{\left(x-1\right)+6\sqrt{x-1}+9}=5\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+3\right)^2}=5\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\sqrt{x-1}+3=5\)
Tới đây thì đơn giản rồi
\(\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2-4x+9}=3+\sqrt{5}\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2-4x+4\right)+1}+\sqrt{\left(x^2-4x+4\right)+4}+\sqrt{\left(x^2-4x+4\right)+5}=3+\sqrt{5}\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}=3+\sqrt{5}\)Do \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+1\ge1\forall x\\ \left(x-2\right)^2+4\ge4\forall x\\ \left(x-2\right)^2+5\ge5\forall x\\ \Rightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\ge1\forall x\\ \sqrt{\left(x-2\right)^2+4}\ge2\forall x\\ \sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge\sqrt{5}\forall x\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge1+2+\sqrt{5}\ge3+\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(x-2=0\\ \Leftrightarrow x=2\)
Vậy...........
a)\(\sqrt{x^2-4x+2x}=2\)
(=)\(\sqrt{\left(x-2\right)^2}=2\)
(=)\(x-2=2\)
(=)\(x=2+2=4\)
\(\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}=3+\sqrt{5}\)
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\ge\sqrt{1}=1\\\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\\\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge\sqrt{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow VT\ge1+2+\sqrt{5}=3+\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=2\)
b/ Tương tự:
\(\sqrt{3-\left(x-1\right)^2}+\sqrt{1-\left(x+3\right)^2}=1+\sqrt{3}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3-\left(x-1\right)^2}\le\sqrt{3}\\\sqrt{1-\left(x+3\right)^2}\le\sqrt{1}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow VT\le1+\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\varnothing\)
Phương trình vô nghiệm
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}=3+\sqrt{5}\)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\\\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\\\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2+1\ge1\\\left(x-2\right)^2+4\ge4\\\left(x-2\right)^2+5\ge5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\ge1\\\sqrt{\left(x+2\right)^2+4\ge2}\\\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\ge1+\sqrt{\left(x+2\right)^2+4}\ge2+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge\sqrt{5}=3+\sqrt{5}\)Đẳng thức xảy ra khi: \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
Vậy...