Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Áp dụng bất đẳng thức Holder cho 2 bộ số \(\left(x,y,z\right)\left(3;3;3\right)\) ta có:
\(\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)\ge\left(\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{3.3.3}\right)^3=\left(\sqrt[3]{xyz}+3\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)}\ge3+\sqrt[3]{xyz}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\sqrt{x}=\sqrt{2017}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2017}}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3}\right)\)
P/s: Không chắc cho lắm ạ.
Vũ Minh Tuấn, Hoàng Tử Hà, đề bài khó wá, Lê Gia Bảo, Aki Tsuki, Nguyễn Việt Lâm, Lê Thị Thục Hiền,
Học 24h, @tth_new, @Akai Haruma, Nguyễn Trúc Giang, Băng Băng 2k6
Help meeee, please!
thanks nhiều
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{matrix}\right.\)
☘ Ta có:
\(yz=\dfrac{\left(y+z\right)^2-\left(y^2+z^2\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left(1-x\right)^2-\left(1-x^2\right)}{2}=x^2-x\)
☘ Thay vào phương trình thứ 3
\(\Rightarrow1=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(y+z\right)^3-3yz\left(y+z\right)\)
\(=x^3+\left(1-x\right)^3-3\left(x^2-x\right)\left(1-x\right)\)
\(=1+3x^3-3x^2\)
\(\Rightarrow3x^2\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
⚠ Chia thành hai trường hợp, rồi tự giải tiếp nhé.
⚠ Nguồn: Ý tưởng xuất phát từ [Báo TTT - số 71 mục "Thi giải toán qua thư"]
⚠ Có thể có cách khác ngắn gọn, dễ hiểu hơn.
✿ Another way ✿
☘ Ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow xy+z\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow xy=-z\left(x+y\right)=-z\left(1-z\right)=z^2-z\left(1\right)\)
☘ Mặt khác
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(\Rightarrow xyz=0\left(2\right)\)
☘ Thay (1) vào (2)
\(\Rightarrow z\left(z^2-z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=0\\z=1\end{matrix}\right.\)
⚠ Cũng chia thành hai trường hợp rồi giải tiếp nhé.
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
g/s
z>y>2>x
(1); xyz=8=>2>x>0
(2)<=>
y(2-x)=2y-xy<0
z(2-x)=2z-xz<0
=>xy+xz>2y+2z
zy>2x
=>xy+yz+xz>2(x+y+z)
g/s sai=>dpcm
Lời giải:
Ta có:
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(x+z)$
$\Leftrightarrow 1^3=1+3(x+y)(y+z)(x+z)$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=0$
$\Rightarrow x+y=0$ hoặc $y+z=0$ hoặc $x+z=0$
Không mất tổng quát giả sử $x+y=0$
Kết hợp với $x+y+z=1\Rightarrow z=1$
$\Rightarrow x^2+y^2=0$. Kết hợp với $x+y=0$ suy ra $x=y=0$
Do đó: $M=0^{10}+0^{100}+1^{1000}=1$
TH $y+z=0$ và $z+x=0$ ta cũng thu được điều tương tự
Vậy $M=1$
Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)
<=> (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz = (xyz)2
<=> (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 + 2xyz(x + y + z) = (xyz)2
<=> (xy + yz + zx)2 = (xyz)2
<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)
+) Khi xy + yz + zx = -xyz
=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)
=> xy + yz + zx = xyz
<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
Khi x = -y => y = 1 => P = 1
Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1
Vậy P = 1
Lời giải:
Từ PT (1) suy ra \(x^2,y^2,z^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq x,y,z\leq 1\)
Lấy PT (2) trừ PT (1) ta có:
\(x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0\)
Do \(\left\{\begin{matrix} x^2\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\\ x-1\leq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2(x-1)\leq 0\)
Hoàn toàn tương tự: \(y^2(y-1), z^2(z-1)\leq 0\)
\(\Rightarrow x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)\leq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2(x-1)=0\\ y^2(y-1)=0\\ z^2(z-1)=0\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x=y=z=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3\neq 1\) (vô lý). Do đó tồn tại số bằng 0 trong ba số $x,y,z$
Do đó \(xyz=0\)