Câu hỏi của Nguyễn Xuân An

Question

tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn:x⁴+x²+1=y²

Khanh Nguyễn Ngọc · Accepted Answer

Xét: $x^2\ge0\Rightarrow x^4+2x^2+1\ge x^4+x^2+1=y^2$

$\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2\ge y^2=x^4+x^2+1>x^4=\left(x^2\right)^2$

Vậy số chính phương $y^2$bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp là $\left(x^2\right)^2$và$\left(x^2+1\right)^2$

Có xảy ra dấu "=" tại $\left(x^2+1\right)^2$nên trường hợp duy nhất cho y chính là $y^2=\left(x^2+1\right)^2$

Khi đó $x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\Leftrightarrow x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $\left(0;1\right),\left(0;-1\right)$

Câu trả lời:

Xét: $x^2\ge0\Rightarrow x^4+2x^2+1\ge x^4+x^2+1=y^2$

$\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2\ge y^2=x^4+x^2+1>x^4=\left(x^2\right)^2$

Vậy số chính phương $y^2$bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp là $\left(x^2\right)^2$và$\left(x^2+1\right)^2$

Có xảy ra dấu "=" tại $\left(x^2+1\right)^2$nên trường hợp duy nhất cho y chính là $y^2=\left(x^2+1\right)^2$

Khi đó $x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2\Leftrightarrow x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $\left(0;1\right),\left(0;-1\right)$