Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: \(\Delta\) = (-2m)2 - 4.1.(m-2) = 4m2 - 4m + 8 = (4m2 - 4m + 1) + 7 = (2m-1)2 + 7 \(\ge\) 7 > 0 x do đo (1) luôn có 2 nghiệm với mọi m.
a/ \(\Delta'=1-m\ge0\Rightarrow m\le1\)
Để biểu thức xác định \(\Rightarrow f\left(0\right)\ne0\Rightarrow m\ne0\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Mặt khác do \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2x_1+m=0\\x_2^2-2x_1+m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-3x_1+m=-x_1\\x_2^2-3x_2+m=-x_2\end{matrix}\right.\)
Thay vào ta được:
\(-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}\le2\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2}{x_1x_2}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1x_2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{m}\ge0\Rightarrow m>0\)
Vậy \(0< m\le1\)
b/ \(\Delta'=m^2-m-2\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)
\(x_1^3+x_2^3\le16\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-16\le0\)
\(\Leftrightarrow8m^3-6m\left(m+2\right)-16\le0\)
\(\Leftrightarrow4m^3-3m^2-6m-8\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(4m^2+5m+4\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow m\le2\) (do \(4m^2+5m+4=4\left(m+\frac{5}{8}\right)^2+\frac{39}{16}>0;\forall m\))
Kết hợp ta được \(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=4-m^2\ge0\Rightarrow-2\le m\le2\)
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1.x_2=\dfrac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\left|m^2-2-m-4\right|=\left|m^2-m-6\right|=\left|\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\right|\)
Do \(-2\le m\le2\Rightarrow0\le\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{25}{4}\)
\(\Rightarrow\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\le0\) \(\Rightarrow P=\dfrac{25}{4}-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{25}{4}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{25}{4}\) ; dấu "=" xảy ra khi \(m=\dfrac{1}{2}\)
Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm pb thì \(\Delta'=m^2-2(m^2-2)>0\Leftrightarrow 2> m> -2\)
Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của pt đã cho thì theo định lý Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-m\\ x_1x_2=\frac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(P=|2x_1x_2+x_1+x_2-4|=|2.\frac{m^2-2}{2}+(-m)-4|\)
\(=|m^2-m-6|=|(m-3)(m+2)|\)
\(=|m-3||m+2|=(3-m)(m+2)=m+6-m^2\) (do \(-2< m< 2\))
\(=\frac{25}{4}-(m-\frac{1}{2})^2\leq \frac{25}{4}\)
Vậy \(P_{\max}=\frac{25}{4}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
\(A=x_1^2+x_2^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=4m^2-2\left(3m-2\right)\)
\(=4m^2-6m+4\)
\(=4\left(m^2-\dfrac{3}{2}m+1\right)\)
\(=4\left(m^2-2\cdot m\cdot\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{16}+\dfrac{7}{16}\right)\)
\(=4\left(m-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{4}>=\dfrac{7}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi m=3/4
Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta'=m^2-(m^2-m)=m>0\)
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m^2-m\end{matrix}\right.\). Khi đó:
\(x_1^2+x_2^2=24\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=24\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=24\)
\(\Leftrightarrow (2m)^2-2(m^2-m)=24\)
\(\Leftrightarrow 2m^2+2m-24=0\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-12=0\Leftrightarrow (m-3)(m+4)=0\)
Vì $m>0$ nên $m=3$
Vậy $m=3$
ta có : \(\Delta'=\left(m\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-1\right)=m^2-\left(m^2-1\right)\)
\(=m^2-m^2+1=1>0\forall m\) \(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
ta có : \(x_1^2+x_2^2=5\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\) (1)
áp dụng hệ thức vi ét cho phương trình đầu ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{m-1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
thay vào (1) ta có : \(\left(\dfrac{-2m}{m+1}\right)^2-2\left(\dfrac{m-1}{m+1}\right)=5\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m+1\right)^2}-2\dfrac{m-1}{m+1}=5\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2-2\left(m-1\right)\left(m+1\right)}{\left(m+1\right)^2}=5\Leftrightarrow\dfrac{4m^2-2\left(m^2-1\right)}{\left(m+1\right)^2}=5\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2-2m^2+2}{\left(m+1\right)^2}=5\Leftrightarrow4m^2-2m^2+2=5\left(m+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2m^2+2=5\left(m^2+2m+1\right)\Leftrightarrow2m^2+2=5m^2+10m+5\)
\(\Leftrightarrow5m^2+10m+5-2m^2-2=0\Leftrightarrow3m^2+10m+3=0\)
\(\Leftrightarrow3m^2+m+9m+3=0\Leftrightarrow m\left(3m+1\right)+3\left(3m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(3m+1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+3=0\\3m+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)
vậy \(m=-3;m=\dfrac{-1}{3}\) là thỏa mãn điềm kiện bài toán
a/ Ta có : △' = (-2)2-(m+3)
=4-m-3 = 1-m
De ptr co 2 nghiem x1 va x2 thì △' ≥0
=>1-m≥0 =>m≤1
Theo Viei{ x1+x2=4 ; x1x2=m+3
Ta co: |x1-x2|=2 ⇔(x1-x2)2=4
⇔(x1+x2)2-4x1x2=4
⇔42-4(m+3)=4
⇔m=0 (TM)
b/ Ta co: △ = (m-1)2-4(m+6)
=m2-6m-23 De ptr co 2 nghiem x1 , x2 thi △≥ 0
=> m2-6m-23≥0 (*)
Theo viet { x1+x2=1-m ; x1x2=m+6
db <=> ( x1+x2)2-2x1x2=10
⇔ (1-m)2-2(m+6)=10
⇔ m2-4m -21 =0
⇔[m=7 ; m=-3
Thay vao (*) =>m=7 (loai) ; m=-3 (tm)
c/ Ta co :△' = (-m)2-(3m-2)
= m2-3m+2
De ptr co 2 nghiem x1 , x2 thi : △' ≥0
⇔m2-3m+2≥0 (*)
Theo viet { x1+x2=2m ; x1x2=3m-2
db <=> ( x1+x2)2-3x1x2=4
⇔ (2m)2-3(3m-2)=4
⇔ 4m2--9m+2 =0
⇔[m=2 ; m=\(\dfrac{1}{4}\)
Thay vao (*) =>m=2 (tm) ; m=\(\dfrac{1}{4}\) (tm)
d/ Ta co : △=(-3)2-4(m-2)
=17-4m
De ptr co 2 nghiem x1 , x2 thi : △ ≥0
⇔17-4m≥0
⇔m≤\(\dfrac{17}{4}\)
theo viet{ x1+x2=3 ; x1x2= m-2
⇔(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) =9
⇔33-3.3(m-2)=9
⇔m=4(tm)
\(\Delta=4m^2+4m+1\)
phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow m\ne-\frac{1}{2}\)
theo hệ thức viete : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1.x_2=-m-1\end{matrix}\right.\)
ta có : x12+x22=2
<=> (x1+x2)2-2x1x2-2=0
<=> 4m2+2m+2-2=0
<=> 4m2+2m=0
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\frac{1}{2}\\m=0\end{matrix}\right.\)
kết hợp với \(m\ne-\frac{1}{2}\)
=> m=0