K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LB
0
11 tháng 1 2024
\(n^5+1⋮n^3+1\)
\(\Leftrightarrow n^5-n^3⋮n^3+1\)
\(\Leftrightarrow n^3\left(n^2-1\right)⋮n^3+1\)
Vì \(gcd\left(n^3,n^3+1\right)=1\) nên từ đây suy ra \(n^2-1⋮n^3+1\) (*)
Nếu \(n=1\) thì (*) thành \(0⋮2\) (thỏa mãn)
Nếu \(n\ge2\) thì (*) suy ra \(n^3+1\le n^2-1\)
\(\Leftrightarrow f\left(n\right)=n^3-n^2+2\le0\) (1)
Ta thấy \(f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)^2+2-n^3+n^2-2\)
\(=n^3+3n^2+3n+1-n^2-2n-1-n^3+n^2\)
\(=3n^2+n>0,\forall n\ge2\)
\(\Rightarrow f\left(n\right)\) là hàm số đồng biến trên \(ℕ_{\ge2}\) (cái này mình kí hiệu cho gọn thôi chứ bạn đừng viết vào bài làm nhé)
\(\Rightarrow f\left(n\right)\ge f\left(2\right)=6>0\)
Do đó (1) vô lý \(\Rightarrow n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn ycbt.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2024
\(\dfrac{n^5+1}{n^3+1}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n^4-n^3+n^2-n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\dfrac{n^4-n^3+n^2-n+1}{n^2-n+1}\)
\(=\dfrac{n^2\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)}{n^2-n+1}=n^2-\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\)
Để \(n^5+1⋮n^3+1\Rightarrow\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\in Z\)
- Với \(n=1\) thỏa mãn
- Với \(n>1\Rightarrow n^2-n>n^2-n=n\left(n-1\right)>n-1\)
\(\Rightarrow0< \dfrac{n-1}{n^2-n+1}< 1\) \(\Rightarrow\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\notin Z\)
Vậy \(n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn
LD
29 tháng 9 2019
\(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)^2-2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{n+1}\right)}\)
=1+1/n-1/n+1
chúc bn hoc tốt
29 tháng 9 2019
\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow\frac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}=\frac{[\left(n+1\right)^2-n]^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^4+n^2=\left(n+1\right)^4-2\left(n+1\right)^2n+n^2\)
\(\Rightarrow0=-2\left(n+1\right)^2n\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(n+1\right)^2=0\\n=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=-1\\n=0\end{cases}}\) mà \(n\inℕ^∗\)
=> n\(\in\varnothing\)
MN
1
27 tháng 8 2018
\(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Vậy ....
DT
1
27 tháng 9 2020
Ta có: 2S=n(n+1)
Áp dụng tính chất: \(a^n+b^n⋮a+b\)với a, b là các số nguyên dương và n lẻ, ta có:
\(2T=\left(1^5+n^5\right)+\text{[}2^5+\left(n-1\right)^5\text{]}+...+\left(n^5+1^5\right)⋮\left(n+1\right)\)
Tương tự \(2T⋮n\)
Mà \(\left(n.n+1\right)=1\Rightarrow2T⋮n\left(n+1\right)hayT⋮S\)
Tổng quát:
Có thể chứng minh được:
\(A\left(k.n\right)=1^k+2^k+...+n^k⋮T\left(n\right)=1+2+3+...+n\forall n,k\in N;n\ge1\)và k lẻ
27 tháng 8 2019
Ta chứng minh BĐT sau : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Áp dụng BĐT trên, ta có :
\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)=2\sqrt{n}\)
NG
0