Câu hỏi của Lamhong Cao

Question

Tìm số tự nhiên n sao cho P = ( n - 2 ).( n²+ n - 5 ) là số nguyên tố.

Nguyễn Hưng Phát · Accepted Answer

Xét $n=0$ thì $P=-2\left(0^2+0-5\right)=10$ là hợp số(loại)

Xét $n=1$ thì $P=-1.\left(1^2+1-5\right)=\left(-1\right).\left(-3\right)=3$ (thỏa mãn)

Xét $n=2$ thì $P=\left(2-2\right).\left(2^2+2-5\right)=0.\left(2^2+2-5\right)=0$(loại)

Xét $n=3$ thì $P=\left(3-2\right)\left(3^2+3-5\right)=1.7=7$(thỏa mãn)

Xét $n\ge4$ thì $\hept{\begin{cases}n-2\ge2\n^2+n-5\ge4^2+4-5=15\end{cases}}$

nên P có ít nhất 4 ước $1,n-2,n^2+n-5,\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)$ nên P là hợp số (loại)

Vậy n=1,n=3 thỏa mãn

Câu trả lời:

Xét $n=0$ thì $P=-2\left(0^2+0-5\right)=10$ là hợp số(loại)

Xét $n=1$ thì $P=-1.\left(1^2+1-5\right)=\left(-1\right).\left(-3\right)=3$ (thỏa mãn)

Xét $n=2$ thì $P=\left(2-2\right).\left(2^2+2-5\right)=0.\left(2^2+2-5\right)=0$(loại)

Xét $n=3$ thì $P=\left(3-2\right)\left(3^2+3-5\right)=1.7=7$(thỏa mãn)

Xét $n\ge4$ thì $\hept{\begin{cases}n-2\ge2\n^2+n-5\ge4^2+4-5=15\end{cases}}$

nên P có ít nhất 4 ước $1,n-2,n^2+n-5,\left(n-2\right)\left(n^2+n-5\right)$ nên P là hợp số (loại)

Vậy n=1,n=3 thỏa mãn