Question

[Đặng Thu Hường]

Tìm nghiệm nguyên : 1+x+x²+x³ = y³

Answer 1

[Incursion_03]

\(pt\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}+x^3=y^3\)

\(\Rightarrow y^3>x^3\)

Xét hiệu \(y^3-\left(x+2\right)^3=x^3+x^2+x+1-x^3-6x^2-12x-8\)

                                              \(=-5x^2-11x-7\)

                                             \(=-5\left(x+\frac{11}{10}\right)^2-\frac{19}{20}< 0\)

\(\Rightarrow y^3< \left(x+2\right)^3\)

Tóm lại \(x^3< y^3< \left(x+2\right)^3\)

Mà x;y nguyên nên y = x + 1

Thế vào pt ban đầu ta được

\(1+x+x^2+x^3=x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\Rightarrow y=1\\x=-1\Rightarrow y=0\end{cases}}\)

Vậy ...