Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bđt svacxơ, ta có
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
dấu = xảy ra <=>\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)
nên \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
,mặt khác, ta có \(\frac{2}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{1}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(x^2+y^2\right)^n}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(2.x^2\right)^n}{\left(2.a\right)^n}=2.\frac{2^2.x^{2n}}{2^2.a^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
từ 2 điều trên => \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=\frac{2}{\left(a+b\right)^n}\)
Đặt bđt là (*)
Để (*) đúng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn :
\(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)thì \(a=b=c=1\) cũng thỏa mãn (*)
\(\Rightarrow4\le\sqrt[n]{\left(n+2\right)^2}\)
Mặt khác: \(\sqrt[n]{\left(n+2\right)\left(n+2\right).1...1}\le\frac{2n+4+\left(n-2\right)}{n}=3+\frac{2}{n}\)
Hay \(n\le2\)
Với n=2 . Thay vào (*) : ta cần CM BĐT
\(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{3}{16}\)
Với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vì: \(\frac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(2b+a+c\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)};\frac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\le\frac{1}{4\left(a+c\right)\left(c+b\right)}\)
Ta cần CM:
\(\frac{a+b+c}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{3}{16}\Leftrightarrow16\left(a+b+c\right)\le6\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có BĐT: \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Và: \(3\left(ab+cb+ac\right)\le3abc\left(a+b+c\right)\le\left(ab+cb+ca\right)^2\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\)
=> đpcm
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c
=> số nguyên dương lớn nhất : n=2( thỏa mãn)
\(P=\frac{2n^2-n+2}{2n+1}=\frac{n\left(2n+1\right)-\left(2n-2\right)}{2n+1}=n-\frac{2n-2}{2n+1}\)
\(=n-\frac{2n+1-3}{2n+1}=n-1+\frac{3}{2n+1}\)
Để P nguyên thì \(\frac{3}{2n+1}\)nguyên
\(\Leftrightarrow3⋮\left(2n+1\right)\Leftrightarrow2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
Lập bảng:
| \(2n+1\) | \(1\) | \(-1\) | \(3\) | \(-3\) |
| \(n\) | \(0\) | \(-1\) | \(1\) | \(-2\) |
Vậy \(n\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)
#)Giải :
\(P=\frac{2n^2-n+2}{2n+1}=\frac{2n^2+n-2n-1+3}{2n+1}=\frac{n\left(2n+1\right)-\left(2n+1\right)+3}{2n+1}\)
\(=\frac{\left(2n+1\right)\left(n-1\right)+3}{2n+1}=n-1+\frac{3}{2n+1}\)
\(\Rightarrow2n+1\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2n+1=-3\\2n+1=1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=-2\\n=-1\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2n+1=1\\2n+1=3\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=1\end{cases}}}\)
Vậy \(n\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)
2, 5a+b+3c/a-b+c>1 <=> a-b+c+4a+2b+2c/a-b+c>1
<=>4a+2b+2c/a-b+c > 0 (1)
xét P(2)=4a+2b+c>0,P(-1)=a-b+c>0 (do P(x)>0 với mọi x)
=>P(2)/P(-1)>0 => (1) đúng =>đpcm
3, hóng cao nhân
-đề chuyên LQĐ
1,Bổ đề : (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) >= 3(a^2b+b^2c+c^2a) (nhân bung rồi Cauchy từng cặp 2 số)
từ đó P <= (a+b+c)/3-(a+b+c)^2/9=x/3-x^2/9 (với x=a+b+c>0)=x/3-(x/3)^2=t-t^2(với t=a+b+c>0)=t(1-t)<=(t+1-t)^2/4=1/4
maxP=1/4,đạt tại a=b=c=1/2
Lời giải:
a)
Để \(A=\frac{2n}{n+1}\in\mathbb{Z}\) thì \(2n\vdots n+1\)
\(\Leftrightarrow 2(n+1)-2\vdots n+1\)
\(\Leftrightarrow 2\vdots n+1\)
\(\Rightarrow n+1\in\left\{\pm 1;\pm 2\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{-2;0; -3;1\right\}\)
b)
Để \(B=\frac{n+4}{2-n}\in\mathbb{Z}\) thì \(n+4\vdots 2-n\)
\(\Leftrightarrow 6-(2-n)\vdots 2-n\)
\(\Leftrightarrow 6\vdots 2-n\)
\(\Rightarrow 2-n\in\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 3; \pm 6\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{3;1;4; 0; 5;-1; 8; -4\right\}\)
Thử lại thấy đúng. Vậy...........
Lời giải:
a)
Để \(A=\frac{2n}{n+1}\in\mathbb{Z}\) thì \(2n\vdots n+1\)
\(\Leftrightarrow 2(n+1)-2\vdots n+1\)
\(\Leftrightarrow 2\vdots n+1\)
\(\Rightarrow n+1\in\left\{\pm 1;\pm 2\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{-2;0; -3;1\right\}\)
b)
Để \(B=\frac{n+4}{2-n}\in\mathbb{Z}\) thì \(n+4\vdots 2-n\)
\(\Leftrightarrow 6-(2-n)\vdots 2-n\)
\(\Leftrightarrow 6\vdots 2-n\)
\(\Rightarrow 2-n\in\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 3; \pm 6\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{3;1;4; 0; 5;-1; 8; -4\right\}\)
Thử lại thấy đúng. Vậy...........