Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt n = 2k , ta có ( đk k >= 1 do n là một số chẵn lớn hơn 4)
\(\left(2k\right)^4-4\times\left(2k\right)^3-4\times\left(2k\right)^2+16\times2k\)
\(=16k^4-32k^3-16k^2+32k\)
\(=16k^2\left(k^2-1\right)-32k\left(k^2-1\right)\)
\(=16k\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)-32\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)
Nhận xét \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên
\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) chia hết cho 3
Suy ra điều cần chứng minh
câu 1:
a, giả sử 2 số chẵn liên tiếp là 2k và (2k+2) ta có:
2k(2k+2) = 4k2+4k = 4k(k+1) chia hết cho 8 vì 4k chia hết cho 4, k(k+1) chia hết cho 2
b, giả sử 3 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2 với mọi a thuộc Z
- a,a+1,a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại duy nhất một số chẵn hoặc có 2 số chẵn nên tích của chúng sẽ chia hết cho 2.
mặt khác vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3.
vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
c, giả sử 5 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2, a+3,a+4 với mọi a thuộc Z
- vì là 5 số nguyên liên tiếp nên sẽ tồn tại 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý a tích của chúng choa hết cho 8.
- tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
- tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
câu 2:
a, a3 + 11a = a[(a2 - 1)+12] = (a - 1)a(a+1) + 12a
- (a - 1)a(a+1) chia hết cho 6 ( theo ý b câu 1)
- 12a chia hết cho 6.
vậy a3 + 11a chia hết cho 6.
b, ta có a3 - a = a(a2 - 1) = (a-1)a(a+1) chia hết cho 3 (1)
mn(m2-n2) = m3n - mn3 = m3n - mn + mn - mn3 = n( m3 - m) - m(n3 -n)
theo (1) mn(m2-n2) chia hết cho 3.
c, ta có: a(a+1)(2a+10 = a(a+1)(a -1+ a +2) = [a(a+1)(a - 1) + a(a+1)(a+2)] chia hết cho 6.( théo ý b bài 1)
1. n không chia hết cho 3 suy ra n = 3k +1 hoặc n = 3k +2.
- nếu n = 3k +1 thì 5n + 1 = 5(3k +1) +1 = 15k + 6 ⋮ 3.
- nếu n = 3k +2 thì 5n + 2 = 5(3k + 2) +2 = 15k + 12 ⋮ 3
2. p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p sẽ có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.
nếu p là 6k + 1 thì p + 2 = 6k + 3 ⋮ 3, không là số nguyên tố
do đó p có dạng 6k+5, khi đó p + 1 = 6k : 6 ⋮ 6.
3.
x(1-y) + 2(1-y) = 5
(x+2)(1-y) = 5
xét các trường hợp : x + 2 = 1; 1 - y = 5 và x + 2 = 5, 1 - y =1
4. ta có: n\(^2\) + 3 = (n+1)(n-1) + 4 ⋮ (n-1) khi 4 ⋮ (n-1), khi đó (n-1) \(\in\) Ư(4) .
p8n +3.p4n -4
=p4n.2+3.p4n-4
=(p4n)2+3.p4n-4
=p4n.p4n+3.p4n-4
=p4n.(p4n+3)-4
Vì p là số nguyên tố, p>5, nên:
p ko chia hết cho 5. p chia cho 5 dư 1,2,3,4.
Mà p4n.(p4n+3)-4 => p4n.(p4n+3)-4 chia 5 dư 4.
=> p chia 5 dư 4 => p4n.(p4n+3)-4 chia hết cho 5.
=> p8n +3.p4n -4 chia hết cho 5.
=>ĐPCM.
Ta thấy các số nguyên tố lớn hơn 5 nâng lên lũy thừa có số mũ chia hết cho 4 thì có tận cùng là 1.
VD:74=2401;118=214358881,...
=>Ta có:
p8n +3.p4n -4
=(...1)+3.(...1)-4
=(...1)+(...3)-4
=(...4)-4
=(...0) chia hết cho 5
Vậy p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì p8n +3.p4n -4 chia hết cho 5