Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\\Delta'=9+\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m>-8\end{matrix}\right.\)
b/ \(a=m^2+2>0\) ; \(c=-3< 0\)
\(\Rightarrow ac=-3\left(m^2+2\right)< 0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m (và 2 nghiệm đó trái dấu)
Vô nghiệm với mọi x?
a/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3< 0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\\left(m+2\right)^2+16\left(m-3\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m^2+20m-44\le0\)
\(\Leftrightarrow-22\le m\le2\)
b/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left(m-1\right)^2-4m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\3-2\sqrt{2}< m< 3+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
=> ko tồn tại m thoả mãn
c/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+2m-3>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3\end{matrix}\right.\\\left(m-1\right)^2-\left(m^2+2m-3\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -3\end{matrix}\right.\\m\ge1\end{matrix}\right.\Rightarrow m>1\)
Lời giải:
Để cho gọn, đặt \(x^2=t(t\geq 0)\)
PT trở thành:
\((m-2)t^2-2(m+1)t+(2m-1)=0(*)\)
a) Để PT đã cho vô nghiệm thì thì \(\Delta'\) âm hoặc \((*)\) có nghiệm âm.
----------------------------
\(\Delta'=(m+1)^2-(m-2)(2m-1)<0\)
\(\Leftrightarrow -m^2+7m-1<0\)
\(\Leftrightarrow m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)
PT \((*)\) có nghiệm âm khi mà:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta'=-m^2+7m-1\geq 0\\ t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}<0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\)
Vậy để PT vô nghiệm thì \(\frac{1}{2}>m\geq \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) , \(m< \frac{7-3\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m> \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)
b) Để PT đã cho có nghiệm duy nhất thì (*) có nghiệm duy nhất. Với nghiệm \((*)\) thu được duy nhất là \(t=k\geq 0\), nếu \(k\neq 0\Rightarrow \) PT đã cho có 2 nghiệm \(\pm \sqrt{k}\) (không thỏa mãn).
Do đó nếu PT đã cho có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó phải là 0
\(\Rightarrow (m-2).0^4-2(m+1).0^2+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
Thay vào thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy \(m=\frac{1}{2}\)
c) Để PT đã cho có hai nghiệm thì \((*)\) có duy nhất một nghiệm dương, nghiệm còn lại âm. Khi đó:
\(\Delta'=-m^2+7m-1>0\) (1)
Và: \(t_1t_2<0\Leftrightarrow \frac{2m-1}{m-2}<0\Leftrightarrow \frac{1}{2}< m< 2\) (2)
Kết hợp (1); (2) suy ra \(\frac{1}{2}< m< 2\)
d)
PT ban đầu có ba nghiệm khi mà $(*)$ có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm còn lại là dương.
\((*)\) có nghiệm 0 thì PT ban đầu cũng có nghiệm 0. Theo phần b ta suy ra \(m=\frac{1}{2}\). Thử lại ta thấy với \(m=\frac{1}{2}\) thì PT ban đầu có nghiệm 0 duy nhất. Do đó không tồn tại $m$ để PT có ba nghiệm.
e)
Để PT ban đầu có 4 nghiệm thì $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi mà:
\(\Delta'=-m^2+7m-1>0\) (1)và: \(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=\frac{2(m+1)}{m-2}>0\\ t_1t_2=\frac{2m-1}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>2\) (2)
Từ (1); (2) suy ra \(2< m< \frac{7+3\sqrt{5}}{2}\)
a: Để BPT có nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(m-9\right)^2-8\left(m^2+3m+4\right)< =0\)
=>m^2-18m+81-8m^2-24m-32<=0
=>-7m^2-42m+49<=0
=>x<=-7 hoặc x>=1
b: \(\Leftrightarrow3x^2+\left(m+6\right)x-m+5>0\)
Để BPT có nghiệm thì (m+6)^2-12(-m+5)<0
=>m^2+12m+36+12m-60<0
=>m^2+24m-24<0
=>\(-12-2\sqrt{42}< m< -12+2\sqrt{42}\)
a/ Với \(m=1\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=9+4\left(m-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow4m+5\ge0\Rightarrow m\ge-\frac{5}{4}\)
b/ Với \(m=4\Rightarrow x=\frac{1}{14}\)
Với \(m\ne4\)
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m-4\right)=m^2+5m+13=\left(m+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{27}{4}>0\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m