Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x+m=\dfrac{2x}{x+1}\Leftrightarrow\left(x+m\right)\left(x+1\right)-2x=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(m-1\right)x+m=0\)
\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4m=m^2-6m+1>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 3-2\sqrt{2}\\m>3+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :
\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)
Biến đổi tương đương phương trình này :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)
Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :
\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)
Bài 1:
ĐKXĐ:.............
Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\cap (C)\):
\(2(x-m)-\frac{2x-m}{mx+1}=0\Leftrightarrow m(2x^2-2mx-1)=0\)
Nếu \(m=0\Rightarrow (d)\equiv C\) (vô lý) nên $m\neq 0$ . Do đó \(2x^2-2mx-1=0\). $(1)$
Hai điểm $A,B$ có hoành độ chính là nghiệm của phương trình $(1)$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(d(O,AB)=\frac{|-2m|}{\sqrt{5}}\); \(AB=\sqrt{(x_1-x_)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{5(m^2+2)}\)
\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{d(O,AB).AB}{2}=|m|\sqrt{m^2+2}\)
Mặt khác, dễ dàng tính được \(M(m,0),N(0,-2m)\) nên \(S_{OMN}=\frac{OM.ON}{2}=\frac{|m||-2m|}{2}=m^2\)
Ta có \(S_{OAB}=3S_{OMN}\Leftrightarrow |m|\sqrt{m^2+2}=3m^2\)
\(\Rightarrow m=\pm \frac{1}{2}(m\neq 0)\)
Bài 2:
Ta có \(A(1,0,1)\in (d_1);B(3,5,4)\in (d_2); \overrightarrow{u_{d_1}}=(-1,1,1);\overrightarrow{u_{d_2}}=(4,-2,1)\)
Dễ thấy \([\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]\overrightarrow{AB}\neq 0\) nên suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chéo nhau
Gọi \(\overrightarrow{n_P}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$
Khi đó \(\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]=(3,5,-2)\)
Vì $(P)$ đi qua $(d_1)$ nên $(P)$ đi qua $A$. Do đó PTMP là:
\(3(x-1)+5y-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3x+5y-2z-1=0\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox :
\(\frac{mx^2+x+m}{x-1}=0\Leftrightarrow mx^2+x+m=0\left(1\right)\), \(x\ne1\)
Đặt \(f\left(x\right)=mx^2+x+m\)
(C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương
\(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\\Delta=1-4m^2>0\\f\left(1\right)=1+2m\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\-\frac{1}{2}< m< \frac{1}{2}\end{cases}\)
Vậy với \(\begin{cases}m\ne0\\-\frac{1}{2}< m< \frac{1}{2}\end{cases}\) thì điều kiện bài toán thỏa mãn
Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
\(m-\frac{-x^2+2x-4}{x-2}=0\Leftrightarrow x^2+x(m-2)+(4-2m)=0\)
Để 2 ĐTHS cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì PT trên phải có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta (m-2)^2-4(4-2m)>0\Leftrightarrow m^2+4m-12>0\)
\(\Leftrightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}m< -6\\m>2\end{matrix}\right.\)
Khi đó, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của PT, áp dụng định lý Viete:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2-m\\ x_1x_2=4-2m\end{matrix}\right.\)
Hai giao điểm là \(A(x_1,m);B(x_2,m)\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{m^2+4m-12}\)
Mặt khác \(d(O,AB)=|m|\)
\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{d(O,AB).AB}{2}=3\Leftrightarrow |m|\sqrt{m^2+4m-12}=6\)
\(\Rightarrow m\approx -6,11845\) hoặc \(m\approx 2,61246\) (đều thỏa mãn)
1.
\(4x^3-6x^2+m=0\Leftrightarrow4x^3-6x^2=-m\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=4x^3-6x^2\)
\(f'\left(x\right)=12x^2-12x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
BBT:
x y' y 0 1 0 0 - + + 0 -2
Từ BBT ta thấy đường thẳng \(y=-m\) cắt \(y=4x^3-6x^2\) tại 3 điểm pb khi:
\(-2< -m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)
2.
Pt hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{x-3}{x+1}=x+m\)
\(\Rightarrow x-3=\left(x+m\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+mx+m+3=0\) (1)
Đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4\left(m+3\right)>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>6\\m< -2\end{matrix}\right.\)