Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ ĐKXĐ: \(x>\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-1}{\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-1}=mx\)
\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-2x}{\sqrt{2x-1}}=mx\Leftrightarrow\frac{3x-2}{\sqrt{2x-1}}=m\)
Đặt \(\sqrt{2x-1}=a>0\Rightarrow x=\frac{a^2+1}{2}\Rightarrow\frac{3a^2-1}{2a}=m\)
Xét hàm \(f\left(a\right)=\frac{3a^2-1}{2a}\) với \(a>0\)
\(f'\left(a\right)=\frac{12a^2-2\left(3a^2-1\right)}{4a^2}=\frac{6a^2+2}{4a^2}>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến
Mặt khác \(\lim\limits_{a\rightarrow0^+}\frac{3a^2-1}{2a}=-\infty\); \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{3a^2-1}{2a}=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b/ ĐKXĐ: \(x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[4]{\left(x-1\right)^2}+4m\sqrt[4]{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\left(m+3\right)\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}=0\)
Nhận thấy \(x=2\) không phải là nghiệm, chia 2 vế cho \(\sqrt[4]{\left(x-2\right)^2}\) ta được:
\(\sqrt[4]{\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2}+4m\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}+m+3=0\)
Đặt \(\sqrt[4]{\frac{x-1}{x-2}}=a\) pt trở thành: \(a^2+4m.a+m+3=0\) (1)
Xét \(f\left(x\right)=\frac{x-1}{x-2}\) khi \(x>0\)
\(f'\left(x\right)=\frac{-1}{\left(x-2\right)^2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{x-1}{x-2}=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x-1}{x-2}=1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)>1\Rightarrow a>1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow m\left(4a+1\right)=-a^2-3\Leftrightarrow m=\frac{-a^2-3}{4a+1}\)
Xét \(f\left(a\right)=\frac{-a^2-3}{4a+1}\) với \(a>1\)
\(f'\left(a\right)=\frac{-2a\left(4a+1\right)-4\left(-a^2-3\right)}{\left(4a+1\right)^2}=\frac{-4a^2-2a+12}{\left(4a+1\right)^2}=0\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
\(f\left(1\right)=-\frac{4}{5};f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{4};\) \(\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}\frac{-a^2-3}{4a+1}=-\infty\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)\le-\frac{3}{4}\Rightarrow m\le-\frac{3}{4}\)
Lời giải:
PT \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x\leq 3\\
2x^2+mx=(3-x)^2=x^2-6x+9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ x^2+(m+6)x-9=0(1)\end{matrix}\right.\)
Với (1):
$\Delta=(m+6)^2+36$ nên PT(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$. Để PT ban đầu có duy nhất 1 nghiệm thì PT (1) phải có 1 nghiệm $x_1\leq 3$, nghiệm còn lại $x_2>3$
Điều này xảy ra khi mà :
\((x_1-3)(x_2-3)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2-3(x_1+x_2)+9\leq 0\)
\(\Leftrightarrow -9-3(-m-6)+9\leq 0\Leftrightarrow 3(m+6)\leq 0\Leftrightarrow m\leq -6\)
wtf ý nào k làm dc thì up nên chứ up hết bài nên cho người ta làm hộ thì có học được cái j đâu
Đặt \(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}=a\)
\(a^2=2-2\sqrt{1-x^4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le\sqrt{2}\\2\sqrt{1-x^4}=2-a^2\end{matrix}\right.\)
Phương trình trở thành:
\(m\left(a+2\right)=2-a^2+a-1\)\(\Leftrightarrow m=\frac{-a^2+a-1}{a+2}\)
Xét \(f\left(a\right)=\frac{-a^2+a-1}{a+2}\Rightarrow f'\left(a\right)=\frac{\left(-2a+1\right)\left(a+2\right)+a^2-a+1}{\left(a+2\right)^2}=\frac{-a^2-4a+3}{\left(a+2\right)^2}\)
\(f'\left(a\right)=0\Rightarrow a=-2+\sqrt{7}\)
\(f\left(0\right)=-\frac{1}{2};f\left(\sqrt{2}\right)=\frac{-8+5\sqrt{2}}{2};f\left(-2+\sqrt{7}\right)=5-2\sqrt{7}\)
\(\Rightarrow\) Để pt có nghiệm thì \(-\frac{1}{2}\le m\le5-2\sqrt{7}\)
b/ Xét hàm \(f\left(x\right)=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}\)
\(f'\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=x\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow x=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[0;1\right]\) và nghịch biến trên \(\left[-1;0\right]\)
\(f\left(0\right)=0;f\left(1\right)=f\left(-1\right)=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a=0\) thì \(y=a\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 1 điểm duy nhất (tiếp xúc)
\(0< a\le\sqrt{2}\) thì \(y=a\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 2 điểm phân biệt
\(\Rightarrow\) Để phương trình đã cho có 4 nghiệm thì \(y=m\) cắt \(y=f\left(a\right)\) tại 2 điểm phân biệt
Dựa vào BBT của câu a ta được: \(\frac{-8+2\sqrt{5}}{2}\le m< 5-2\sqrt{7}\)
đặt t = \(\sqrt{-x^2+2x+15}\) ( đk t >= 0 )
xét hàm f(t) = t^2 - 4t -28
....tự làm ...
Lời giải:
a. Đặt $f(x)=x+\sqrt{2x^2+1}$
$f'(x)=1+\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{\sqrt{2}}$
Lập BBT ta thấy:
$f_{\min}=f(\frac{-1}{\sqrt{2}})=\frac{\sqrt{2}}{2}$
\(f(x)\to +\infty \) khi \(x\to +\infty; x\to -\infty \)
Do đó $x+\sqrt{2x^2+1}=m$ có nghiệm khi $m\geq \frac{\sqrt{2}}{2}$
b. TXĐ: $x\in [3;+\infty)$
BPT $\Leftrightarrow m(x-1)\leq \sqrt{x-3}+1$
$\Leftrightarrow m\leq \frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}$
Xét $f(x)=\frac{\sqrt{x-3}+1}{x-1}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=7-2\sqrt{3}$
Lập BBT ta thấy $f_{\max}=f(7-2\sqrt{3})=\frac{1+\sqrt{3}}{4}$
Để BPT có nghiệm thì $m\leq \frac{1+\sqrt{3}}{4}$