Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(a=3sinx-4cosx\Rightarrow a^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=25\)
\(\Rightarrow-5\le a\le5\)
\(y=a^2-2a+1\ge2m\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2\ge2m\)
Để BPT đúng với mọi x thuộc R
\(\Leftrightarrow2m\le\min\limits_{\left[-5;5\right]}\left(a-1\right)^2\)
Mà \(\left(a-1\right)^2\ge0\) \(\forall a\Rightarrow2m\le0\Rightarrow m\le0\)
Lời giải:
Đặt \(3\sin x+4\cos x=t\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(t^2=(3\sin x+4\cos x)^2\leq (3^2+4^2)(\sin ^2x+\cos ^2x)=25\)
\(\Rightarrow -5\leq t\leq 5\)
Với $t\in [-5;5]$ ta có:
\(y=3t^2+4t+1\leq 3.25+4.5+1=96\)
Mặt khác: \(y=3t^2+4t+1=3(t+\frac{2}{3})^2-\frac{1}{3}\)
\((t+\frac{2}{3})^2\geq 0, \forall t\in [-5;5]\Rightarrow y\geq -\frac{1}{3}\)
Vậy \(y_{\min}=\frac{-1}{3}; y_{\max}=96\)
Cái đoạn theo điều kiện có nghiệm sao lại suy ra được thế kia hả anh?
Tồn tại x để \(a.sinx+b.cosx=c\) khi và chỉ khi \(a^2+b^2\ge c^2\)
Nhận thấy \(cosx=0\) không phải nghiệm với mọi m
Pt tương đương: \(\frac{3sinx}{cosx}-m+2=0\Leftrightarrow tanx=\frac{m-2}{3}\)
\(0\le x\le\frac{\pi}{4}\Rightarrow0\le tanx\le1\)
\(\Rightarrow0\le\frac{m-2}{3}\le1\Rightarrow2\le m\le5\)
\(\Rightarrow m=\left\{2;3;4;5\right\}\)
\(y'=3cosx-4sinx-\frac{1}{cos^2x}\)
\(\Rightarrow y'\left(\frac{\pi}{6}\right)=3cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-4sin\left(\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{-20+9\sqrt{3}}{6}\)
b/ \(y'=-8x^3+\frac{3}{x^4}-\frac{1}{x^2}\)
1) a) cos7x - √3 sin7x = -√2 (a = 1; b = -√3; c = -√2)
=> a^2 + b^2 =4 > c^2 = 2
Chia 2 vế pt (*) cho \(\sqrt{a^2+b^2}=2\) ta đc:
<=> 1/2cos7x - √3/2 sin7x = -√2/2
<=> sin(π/6)cos7x - cos(π/6)sin7x = sin(-π/4)
<=> sin(π/6 - 7x) = sin(-π/4)
<=> π/6 - 7x = -π/4 + k2π
hoặc (k∈Z)
π/6 - 7x = π + π/4 + k2π
<=> x = 5π/84 + k2π/7
hoặc (k∈Z)
x = -13π/84 + k2π/7
1) b) Ta có:
* 2π/5 < x < 6π/7
<=> 2π/5 < 5π/84 + k2π/7 < 6π/7
<=> 143π/420 < k2π/7 < 67π/84
<=> 143/120 < k < 67/24
=> k ϵ {2}
=> x = 53π/84
* 2π/5 < x < 6π/7
<=> 2π/5 < -13π/84 + k2π/7 < 6π/7
<=> 233/120 < k < 85/24
=> k ϵ {2; 3}
=> x = 5π/12 ; x = 59π/84
Vậy có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn (2π/5;6π/7) là x = 53π/84; x = 5π/12 ; x = 59π/84.
ĐKXĐ: \(cosx\ne\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow3sinx+m=8cosx-6\)
\(\Leftrightarrow3sinx-8cosx=-m-6\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(3^2+8^2\ge\left(-m-6\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(m+6\right)^2\le73\)
\(\Rightarrow-6-\sqrt{73}\le m\le-6+\sqrt{73}\)
Kết hợp thêm điều kiện \(m\ne12\pm\frac{3\sqrt{7}}{4}\)