Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt x2 + 2x + 4 = t . Điều kiện : t ≥ 3
Phương trình đã cho trở thành t2 - 2mt - 1 = 0 (1)
(1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = t2 - 2mt - 1 với trục Ox (tức đường thẳng y = 0). Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm phân biệt t thỏa mãn t ≥ 3
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = t2 - 2mt - 1
t f(t) +∞ +∞ -∞ +∞ m -m - 1 2 3 y = 0 3 y = 0 8-6m 8-6m Nếu m > 3 thì yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
8 - 6m ≥ 0 ⇔ m ≤ \(\dfrac{4}{3}\) (không thỏa mãn m > 3)
Nếu m < 3, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
8 - 6t ≤ 0 ⇔ m ≥ \(\dfrac{4}{3}\) Vậy m ∈ \(\)[\(\dfrac{4}{3};3\))
Nếu m = 3 thì phương trình trở thành
t2 - 6t - 1 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=6\\t_1.t_2=-1\end{matrix}\right.\)
tức phương trình có 2 nghiệm trái dấu (không thỏa mãn điều kiện 2 nghiệm t ≥ 3) nên m = 3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là M = \(\left\{m\in R;\dfrac{4}{3}\le m< 3\right\}\)
a.
ĐKXĐ: \(-4\le x\le2\)
Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+8}=t\ge0\)
Do \(\sqrt{-x^2-2x+8}=\sqrt{-\left(x+1\right)^2+9}\le\sqrt{9}=3\)
\(\Rightarrow0\le t\le3\)
Khi đó pt trở thành:
\(8-t^2-4t-m=0\)
\(\Leftrightarrow m=-t^2-4t+8\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2-4t+8\) trên \(\left[0;3\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=-2\notin\left[0;3\right]\) ; \(f\left(0\right)=8\) ; \(f\left(3\right)=-13\)
\(\Rightarrow-13\le f\left(t\right)\le8\) ; \(\forall t\in\left[0;3\right]\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-13\le m\le8\)
b.
ĐKXĐ: \(-3\le x\le1\)
Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}=t\)
\(\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{-x^2-2x+3}\Rightarrow-\sqrt{-x^2-2x+3}=\frac{4-t^2}{2}\)
Ta có:
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\ge\sqrt{x+3+1-x}=2\Rightarrow t\ge2\)
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2\left(x+3+1-x\right)}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)
Pt đã cho trở thành:
\(2t+\frac{4-t^2}{2}+m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}t^2-2t+1=m\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2-2t+1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=2\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\) ; \(f\left(2\right)=-1\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=5-4\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow-1\le f\left(t\right)\le5-4\sqrt{2}\) ; \(\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le m\le5-4\sqrt{2}\)
a/ Với \(m=1\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=9+4\left(m-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow4m+5\ge0\Rightarrow m\ge-\frac{5}{4}\)
b/ Với \(m=4\Rightarrow x=\frac{1}{14}\)
Với \(m\ne4\)
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m-4\right)=m^2+5m+13=\left(m+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{27}{4}>0\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
Với \(x=0\) ko là nghiệm
Với \(x\ne0\) chia 2 vế cho \(x^2\)
\(\Rightarrow2x^2+\left(m+1\right)x-36+\dfrac{2\left(m+1\right)}{x}+\dfrac{8}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}+4\right)+\left(m+1\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-44=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^2+\left(m+1\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)-44=0\)
Đặt \(x+\dfrac{2}{x}=t\Rightarrow x^2-tx+2=0\) (2)
(2) có nghiệm khi \(\Delta=t^2-8\ge0\) (1 nghiệm khi dấu "=" xảy ra, còn lại là 2 nghiệm)
Khi đó pt trở thành:
\(f\left(t\right)=2t^2+\left(m+1\right)t-44=0\) (3)
Do \(ac=-88< 0\) nên (3) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu
Phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực khi:
TH1: (3) có 2 nghiệm pb sao cho \(t^2=8\) , thế vào (1) ko có m thỏa mãn
TH2: (3) có 2 nghiệm thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}t_1^2>8\\t_2^2< 8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1< -2\sqrt{2}< t_2< 2\sqrt{2}\\-2\sqrt{2}< t_1< 2\sqrt{2}< t_2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow f\left(-2\sqrt{2}\right).f\left(2\sqrt{2}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\sqrt{2}\left(m+1\right)-28\right]\left[2\sqrt{2}\left(m+1\right)-28\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{2}\left(m+1\right)>28\\2\sqrt{2}\left(m+1\right)< -28\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\sqrt{2}-1\\m< -7\sqrt{2}-1\end{matrix}\right.\)