\(\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-2x+1}\)

">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 8 2019

Lời giải :

\(\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-2x+1}\)

\(=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}\)

\(=\left|x+1\right|+\left|x-1\right|\)

\(=\left|x+1\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x+1+1-x\right|=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(1-x\right)\ge0\Leftrightarrow-1\le x\le1\)

NM
23 tháng 8 2021

a . ta có : \(1\le1+\sqrt{2-x}\Rightarrow GTNN=1\)

\(-2\le\sqrt{x-3}-2\Rightarrow GTNN=-2\)

b. \(0\le\sqrt{4-x^2}\le2\)

\(\sqrt{2x^2-x+3}=\sqrt{2\left(x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\right)+\frac{23}{8}}=\sqrt{2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}\ge\frac{\sqrt{46}}{4}\)

vậy \(GTNN=\frac{\sqrt{46}}{4}\)

ta có : \(0\le-x^2+2x+5=-\left(x-1\right)^2+6\le6\)

\(\Rightarrow1-\sqrt{6}\le1-\sqrt{-x^2+2x+5}\le1\)Vậy \(\hept{\begin{cases}GTNN=1-\sqrt{6}\\GTLN=1\end{cases}}\)

21 tháng 9 2020

a) đk: \(x\ge0;x\ne\left\{\frac{1}{4};1\right\}\)

\(P=\left(\frac{2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}-\frac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right)\cdot\frac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}\)

\(P=\left[\frac{\left(2x+\sqrt{x}-1\right)\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}}{x-1}\right]\cdot\frac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{\left(x-1\right)\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}}{2x+\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{x+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{x+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

21 tháng 9 2020

b) Ta có: 

\(P=\frac{x+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{\left(x+\sqrt{x}+1\right)-1}{x+\sqrt{x}+1}=1-\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\)

Mà \(x+\sqrt{x}\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}+1\ge1\left(\forall x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\le1\left(\forall x\right)\)

\(\Leftrightarrow P=1-\frac{1}{x+\sqrt{x}+1}\ge0\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x+\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy Min(P) = 0 khi x = 0

12 tháng 12 2016

\(y=\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+2x+1}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}-\sqrt{\left(x+1\right)^2}\)

\(=\left|x-1\right|-\left|x+1\right|\)

+)Xét \(x< -1\)\(\Rightarrow\begin{cases}x+1< 0\Rightarrow\left|x+1\right|=-\left(x+1\right)=-x-1\\x-1< 0\Rightarrow\left|x-1\right|=-\left(x-1\right)=-x+1\end{cases}\)

\(\Rightarrow y=\left(-x-1\right)-\left(-x+1\right)=2\)

+)Xét \(-1\le x< 1\)\(\Rightarrow\begin{cases}x\ge-1\Rightarrow x+1\ge0\Rightarrow\left|x+1\right|=x+1\\x< 1\Rightarrow x-1< 0\Rightarrow\left|x-1\right|=-\left(x-1\right)=-x+1\end{cases}\)

\(\Rightarrow y=\left(-x+1\right)-\left(x+1\right)=-2x\)

+)Xét \(x\ge1\)\(\Rightarrow\begin{cases}x-1\ge0\Rightarrow\left|x-1\right|=x-1\\x+1\ge0\Rightarrow\left|x+1\right|=x+1\end{cases}\)

\(\Rightarrow y=\left(x-1\right)-\left(x+1\right)=-2\)

Ta thấy:

  • Với \(x\ge1\) ta tìm được \(Min_y=-2\)
  • Với \(x< -1\) ta tìm được \(Max_y=2\)

 

 

 

20 tháng 7 2015

\(A=\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\left|x+1\right|+\left|1-x\right|\ge2\left|x+1+1-x\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+1\right)\left(1-x\right)\ge0\Leftrightarrow-1\le x\le1\)

Vậy GTNN của A là 4.

14 tháng 10 2018

Ta có BĐT \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)

Áp dụng vào bài toán ta có

\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{x^2+1^2}+\sqrt{\left(1-x\right)^2+2^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+1-x\right)^2+\left(1+2\right)^2}=\sqrt{10}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{1-x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)

27 tháng 10 2019

a) \(A=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}\)

\(=\left|x-1\right|+\left|x-3\right|\ge\left|\left(x-1\right)+\left(3-x\right)\right|=2\)

Vậy\(A_{min}=2\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3-x\right)\ge0\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow1\le x\le3\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}x-1\le0\\3-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le1\\x\ge3\end{cases}}\left(L\right)\)

Vậy \(A_{min}=2\Leftrightarrow1\le x\le3\)