PT
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
FA
0
DT
4
TN
15 tháng 5 2017
Dự đoán \(x=y=z=1\) ta tính được \(A=6+3\sqrt{2}\)
Ta sẽ c/m nó là GTLN của A
Thật vậy, ta cần chứng minh \(Σ\left(2+\sqrt{2}-2\sqrt{x}-\sqrt{1+x^2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\frac{2\left(1-x\right)}{1+\sqrt{x}}+\frac{1-x^2}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{1+\sqrt{x}}-\frac{x+1}{\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-1\right)^2\left(\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}-\frac{x+1}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)}\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(3-x-y-z\right)\ge0\)
BĐT cuối đủ để chứng minh
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\ge\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2\)
Đặt \(1+x=2k\sqrt{x}\). Hence, theo Cauchy-Schwarz:
\(\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1+x^2}\right)\left(\sqrt{2}x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2\left(1+x^2\right)}\right)\)
\(\ge\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\left(\sqrt{2}x+\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+3\right)\left(3x+1\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3x^2+10x+3\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(3\left(4k^2-2\right)x+10x\right)2\sqrt{2}x\left(3k^2+1\right)\)
Mặt khác \(\left(x+1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+1+2\sqrt{x}\right)\)
\(=2k\left(2k+2\right)x=4k\left(k+1\right)x\). Có nghĩa là ta cần phải c/m
\(3k^2+1\ge\sqrt{2}k\left(k+1\right)\Leftrightarrow\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-2\sqrt{k}+1\ge0\)
Nó đúng theo AM-GM
\(\left(3-\sqrt{2}\right)k^2-\sqrt{2}k+1\ge\left(2\sqrt{3-\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)k\ge0\)
Hơi đẹp nhỉ nhưng xong r` đó :D
LV
14 tháng 5 2017
bunyakovsky:
\(\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\right)^2\le2\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2}.\sqrt{x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
tương tự :phần còn lại + thêm với\(\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\)
2 tháng 8 2017
x+√(x^2+3)=3/(y+√(y^3))=3(y-√(y^2+3)/-a(trục căn thức)
x+√(x^2+3)=-y+√(y^2+3) suy ra x+y=√(y^2+3)-√(x^2+3)(1)
Tương tự,x+y=√(x^2+3)-√(y^2+3)(2)
Cộng (1),(2) theo vế suy ra 2(x+y)=0 suy ra x+y=0
hay E=0.
Vậy E=0
2 tháng 8 2017
nhân \(-x+\sqrt{x^2+3}\) vào 2 vế ta đc : \(\left(-x^2+x^2+3\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=\)\(3\left(-x+\sqrt{x^2+3}\right)\)
<=> \(y+\sqrt{y^2+3}=-x+\sqrt{x^2+3}\)<=> \(y+\sqrt{y^2+3}+x-\sqrt{x^2+3}=0\)__(1)___
làm tương tự ta đc \(\left(-y+\sqrt{y^2+3}\right)\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\)\(=3\left(-y+\sqrt{y^2+3}\right)\)
<=> \(x+\sqrt{x^2+3}=-y+\sqrt{y^2+3}\)<=> \(x+\sqrt{x^2+3}+y-\sqrt{y^2+3}=0\)__(2)__
lấy (1) + (2) => 2(x+y) =0 => x+y=0
lấy
KD
2
4 tháng 6 2019
bt xác định \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-2\ne0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\ne2\)
\(\Leftrightarrow x-1\ne4\Leftrightarrow x\ne5\)
4 tháng 6 2019
Bạn Đào Trọng Luân thiếu ĐK căn lớn hơn bằng 0
\(ĐKXĐ\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\\sqrt{x-1}\ne2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge1\\x-1\ne4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ne5\end{cases}}}\)
đk: \(x\ge2\)
\(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}\ge\sqrt{2-2}+\sqrt{2+2}=2\)
Min y = 2 <=> x = 2
Mấy bài kiểu này làm phải dựa vào đkxđ của biến
≧❂◡❂≦≧❂◡❂≦≧❂◡❂≦
\(đk:x\ge2\)
\(\sqrt{x-2}+\sqrt{2+x}\ge\sqrt{2-2}+\sqrt{2+2}=2\)
Min = 2 khi x = 2
Mấy bài kiểu này phải dựa vào đk xác định