Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tất cả 3 bài này đều chung một dạng, bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên đều không tồn tại GTLN mà chỉ tồn tại GTNN. Cách tìm thường là chia tử cho mẫu rồi khéo léo thêm bớt để sử dụng BĐT Cô-si
a) \(P=\dfrac{x+4}{4\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}}{4}\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=2.\dfrac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(\dfrac{\sqrt{x}}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=4\)
b) \(P=\dfrac{x+3}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}-1\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)}{2}\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)}}-1=2-1=1\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\Leftrightarrow x=1\)
c)ĐKXĐ: \(x\ge0\Rightarrow\) \(P=\dfrac{x-4}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
\(P_{min}\) khi \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\) đạt max \(\Rightarrow\sqrt{x}+1\) đạt min, mà \(\sqrt{x}+1\ge1\) \(\forall x\ge0\) , dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)
\(\Rightarrow P_{min}=-4\) khi \(x=0\)
1.(√x -2)^2 ≥ 0 --> x -4√x +4 ≥ 0 --> x+16 ≥ 12 +4√x --> (x+16)/(3+√x) ≥4
--> Pmin=4 khi x=4
2. Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\)1
=> M=2x2-8x+\(\sqrt{x^2-4x+5}\)+6=2(t2-5)+t+6
<=> M=2t2+t-4\(\ge\)2.12+1-4=-1
Mmin=-1 khi t=1 hay x=2
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(M^2=(a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)})^2\)
\(\leq (a^2+b^2)(9ab+72b^2+9ab+72a^2)\)
\(\Leftrightarrow M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+18ab)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 18ab\leq 9(a^2+b^2)\)
Do đó, \(M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+9a^2+9b^2)=81(a^2+b^2)^2\)
\(\Leftrightarrow M\leq 9(a^2+b^2)\leq 144\)
Vậy \(M_{\max}=144\Leftrightarrow a=b=\sqrt{8}\)
Bài 6:
\(a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\)
Vì \(a>1\rightarrow a-1>0\). Do đó áp dụng BĐT Am-Gm cho số dương\(a-1,\frac{1}{a-1}\) ta có:
\((a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}=2\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a-1=1\Leftrightarrow a=2\)
Bài 3:
Xét \(\sqrt{a^2+1}\). Vì \(ab+bc+ac=1\) nên:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+1}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM có: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\)
hay \(\sqrt{a^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}\)
Hoàn toàn tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:
\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+a+c}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2(a+b+c)\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bài 4:
Ta có:
\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)
\(\Leftrightarrow A+\frac{1}{4}=2a+\frac{b+a}{4a}+b^2=2a+b+\frac{b+a}{4a}+b^2-b\)
Vì \(a+b\geq 1, a>0\) nên \(A+\frac{1}{4}\geq a+1+\frac{1}{4a}+b^2-b\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+\frac{1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\Rightarrow A+\frac{1}{4}\geq 2+b^2-b=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{3}{2}\).
Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
\(1.a.A=\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}:\dfrac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\left(x\ge0;x\ne4;x\ne9\right)\)
\(b.A< 0\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\)
\(\Leftrightarrow x< 4\)
Kết hợp với ĐKXĐ , ta có : \(0\le x< 4\)
KL............
\(2.\) Tương tự bài 1.
\(3a.A=\dfrac{1}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{x-2.\dfrac{1}{2}\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A_{Max}=\dfrac{4}{3}."="\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)