Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\)
\(\Rightarrow A_{min}=3\) khi \(x=y=z\)
b, có thể dùng bunhiacopxki nếu bn k bt bunhiacopxki thì thay 1=x+y+z r sử dụng bđt côsi chính là câu a đấy
Ta có: \(P=\frac{4}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}=\frac{2^2}{x}+\frac{3^2}{y}+\frac{4^2}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Swarchz cho 3 số:
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(2+3+4\right)^2}{x+y+z}=\frac{81}{x+y+z}\)
Thay \(x+y+z=6\Rightarrow P\ge\frac{81}{6}=\frac{27}{2}\)
\(\Rightarrow Min_P=\frac{27}{2}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\).
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3};y=2;z=\frac{8}{3}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\) được
\(G\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
\(G\ge1\Rightarrow MinG=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\x+y+z=2\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{2}{3}\)
\(P=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{z}{2x+y}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(P=\frac{x^2}{2xy+zx}+\frac{y^2}{2yz+xy}+\frac{z^2}{2z+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Ta sẽ chứng minh \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\left(1\right)\)
Thật vậy (1)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+z}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{z+x}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{z}{x+y}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{\left(x-y\right)+\left(x-z\right)}{2\left(y+z\right)}\right)+\left(\frac{\left(y-z\right)+\left(y-x\right)}{2\left(z+x\right)}\right)+\left(\frac{\left(z-x\right)+\left(z-y\right)}{2\left(x+y\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\frac{1}{2\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\left(y-z\right)^2\frac{1}{2\left(z+x\right)\left(x+y\right)}+\left(z-x\right)^2\frac{1}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge0\)(luôn đúng)
=>đpcm
Bạn giải thích giùm mình bước cuối mình ko hủi lém cám ơn
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm ta có:
\(A=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z\)