K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Tìm GTNN của: a. \(A=x-\sqrt{x}\) b. \(B=x-\sqrt{x-2005}\) c. \(C=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\) d. \(D=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\) e. \(E=\left|x-2\right|+\left|2x-3\right|+\left|4x-1\right|+\left|5x-10\right|\) f. \(F=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\) g. \(G=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}\) h. \(H=\sqrt{x^2-8x+17}+\sqrt{x^2+16}\) i. \(I=\sqrt{-x^2+4x+12}-\sqrt{-x^2+2x+3}\) k. \(K=x+y\) biết x và y là các số dương thỏa mãn...
Đọc tiếp

Tìm GTNN của:

a. \(A=x-\sqrt{x}\)

b. \(B=x-\sqrt{x-2005}\)

c. \(C=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\)

d. \(D=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\)

e. \(E=\left|x-2\right|+\left|2x-3\right|+\left|4x-1\right|+\left|5x-10\right|\)

f. \(F=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}\)

g. \(G=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}\)

h. \(H=\sqrt{x^2-8x+17}+\sqrt{x^2+16}\)

i. \(I=\sqrt{-x^2+4x+12}-\sqrt{-x^2+2x+3}\)

k. \(K=x+y\) biết x và y là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}=1\)(a và b là các hằng số dương )

l. \(L=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\) với các số dương x,y,z và \(xyz\left(x+y+z\right)=1\)

m. \(M=x^4+y^4+z^4\) biết rằng \(xy+yz+zx=1\)

n. \(N=a^3+b^3+c^3\) biết a,b,c lớn hơn -1 và \(a^2+b^2+c^2=12\)

o. \(O=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x-1}\) với x>1

p. \(P=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\) với x,y,z là các số dương và \(x+y+z=1\)

q. \(Q=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\) với x,y,z là các số dương và \(x^2+y^2+z^2=1\)

r. \(R=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\) với a,b,c là các số dương và \(a+b+c=6\)

s. \(S=\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\) với a,b,c là các số dương và \(a+b+c=1\)

t. \(T=\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+d}+\dfrac{d^2}{d+a}\) với a,b,c,d là các số dương và \(a+b+c+d=1\)

u. \(U=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}\) với x>y>0 và xy=1

v. \(V=\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}\)

w. \(W=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với x>0, y>0 và \(x^2+y^2=1\)

x. \(X=\left(1+x\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\) với x>0, y>0 và \(x^2+y^2=1\)

y. \(Y=\dfrac{2}{2-x}+\dfrac{1}{x}\) với 0<x<2

z. \(Z=3^x+3^y\) với x+y=4

0
5 tháng 7 2018

\(1.\) Gỉa sử : \(\sqrt{25-16}< \sqrt{25}-\sqrt{16}\)

\(\Leftrightarrow3< 1\) ( Vô lý )

\(\Rightarrow\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)

\(2.\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b< a-b\)

\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)

\(\Leftrightarrow2\left(b-\sqrt{ab}\right)< 0\)

Ta có :\(a>b\Leftrightarrow ab>b^2\Leftrightarrow\sqrt{ab}>b\)

\(\RightarrowĐpcm.\)

\(2a.\) Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a;b\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(b.\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\left(x,y>0\right)\left(1\right)\)

\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\left(y,z>0\right)\left(2\right)\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\left(x,z>0\right)\left(3\right)\)

Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta được :

\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)

5 tháng 7 2018

\(3a.\sqrt{x-4}=a\left(a\in R\right)\left(x\ge4;a\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x-4=a^2\)

\(\Leftrightarrow x=a^2+4\left(TM\right)\)

\(3b.\sqrt{x+4}=x+2\left(x\ge-2\right)\)

\(\Leftrightarrow x+4=x^2+4x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=-3\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

KL....

1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y = 8. Tính GTNN của biểu thức \(A=x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) 2. Cho a,b,c > 1. Tính GTNN của biểu thức \(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\) 3. Cho 2 số \(x,y\ne0\) thỏa mãn đẳng thức sau: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\). Tính GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{xy}\) 4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Cmr:...
Đọc tiếp

1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y = 8. Tính GTNN của biểu thức \(A=x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

2. Cho a,b,c > 1. Tính GTNN của biểu thức \(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)

3. Cho 2 số \(x,y\ne0\) thỏa mãn đẳng thức sau: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\). Tính GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{xy}\)

4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Cmr: \(D=\frac{a^4}{b^2\left(c+2\right)}+\frac{b^4}{c^2\left(a+2\right)}+\frac{c^4}{a^2\left(b+2\right)}\ge1\)

5. Cho a,b,c là các số dương không lớn hơn 1. Cmr: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)

6. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\). Cmr: \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le x+y\le9+3\sqrt{15}\).

7. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Cmr: \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\).

8. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015.\) Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\).

9. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(\left(x+y-1\right)^2=xy\). Tìm GTNN của biểu thức: \(M=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\).

10. Tìm m để phương trình \(mx^2-\left(5m-2\right)x+6m-5=0\) có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.

11. Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(x^2+y\ge1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(N=y^2+\left(x^2+2\right)^2\).

12. Cho 9 số thực \(a_1,a_2,...,a_9\) không nhỏ hơn -1 và \(a_1^3+a_2^3+...+a_9^3=0\). Tính GTLN của biểu thức \(Q=a_1+a_2+...+a_9\).

13. cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Cmr: \(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}< 78\)

Mn làm giúp mk với. Mk đang cần gấp

15
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(9=x+y+xy+1=(x+1)(y+1)\leq \left(\frac{x+y+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow 4\leq x+y\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^3+4x\geq 4x^2; y^3+4y\geq 4y^2\)

\(\frac{x}{4}+\frac{1}{x}\geq 1; \frac{y}{4}+\frac{1}{y}\geq 1\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 5(x^2+y^2)+\frac{3}{4}(x+y)+2\)

Mà:

\(5(x^2+y^2)\geq 5.\frac{(x+y)^2}{2}\geq 5.\frac{4^2}{2}=40\)

\(\frac{3}{4}(x+y)\geq \frac{3}{4}.4=3\)

\(\Rightarrow A= x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 40+3+2=45\)

Vậy \(A_{\min}=45\Leftrightarrow x=y=2\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2019

Bài 2:

\(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)

\(B-24=\frac{a^2}{a-1}-4+\frac{2b^2}{b-1}-8+\frac{3c^2}{c-1}-12\)

\(=\frac{a^2-4a+4}{a-1}+\frac{2(b^2-4b+4)}{b-1}+\frac{3(c^2-4c+4)}{c-1}\)

\(=\frac{(a-2)^2}{a-1}+\frac{2(b-2)^2}{b-1}+\frac{3(c-2)^2}{c-1}\geq 0, \forall a,b,c>1\)

\(\Rightarrow B\geq 24\)

Vậy \(B_{\min}=24\Leftrightarrow a=b=c=2\)

31 tháng 7 2018

BTVN nhiều nhỉ?

a,A=-1

b,B=2x-4y

c,C=2x^2-4

Bài 1: 

a: \(A=\left|2a-1\right|-2a\)

TH1: a>=1/2

A=2a-1-2a=-1

TH2: a<1/2

A=1-2a-2a=1-4a

b: \(B=x-2y-\left|x-2y\right|\)

TH1: x>=2y

A=x-2y-x+2y=0

TH2: x<2y

A=x-2y+x-2y=2x-4y

c: \(=x^2+\left|x^2-4\right|\)

TH1: x>=2 hoặc x<=-2

\(A=x^2+x^2-4=2x^2-4\)

TH2: -2<x<2

\(A=x^2+4-x^2=4\)

d: \(D=2x-1-\dfrac{\left|x-5\right|}{x-5}\)

TH1: x>5

\(D=2x-1-1=2x-2\)

TH2: x<5

D=2x-1+1=2x

25 tháng 4 2020

\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

NV
25 tháng 4 2020

a/ Một cách đơn giản hơn:

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

\(P=\frac{x-\frac{1}{2}+y-\frac{1}{2}}{y^2}+\frac{y-\frac{1}{2}+z-\frac{1}{2}}{z^2}+\frac{z-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}}{x^2}-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{2}{xy}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{yz}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{zx}\left(z-\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\)

\(P\ge\sqrt{3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}-1=\sqrt{3}-1\)

\(P_{min}=\sqrt{3}-1\) khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

31 tháng 8 2018

câu 2 : ta có : \(\left(x^2+x+2\right)^2-\left(x+1\right)^3=x^6+1\)

\(\Leftrightarrow x^6+\left(x+1\right)^3=\left(x^2+x+2\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)\left(x^4-x^3+2x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)\left(x^4-x^3-x^2+x-2\right)=0\)

ta có : \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow pt\Leftrightarrow x^4-x^3-x^2+x-2=0\)

giờ dùng pp đại số chuyển nó thành tích rồi giải bt

31 tháng 8 2018

Bài 3 : Ta có BĐT : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx=1\)

Theo BĐT Cauchy schwarz dưới dạng engel ta có :

\(P=\dfrac{1}{4x^2+yz+2}+\dfrac{1}{4y^2+xz+2}+\dfrac{1}{4z^2+xy+2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{4\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(xy+yz+zx\right)+6}=\dfrac{9}{4+1+6}=\dfrac{9}{11}\)

Vậy GTNN của P là \(\dfrac{9}{11}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Câu 4: 

Để C chia hết cho D thì \(x^4+a⋮x^2+4\)

\(\Leftrightarrow x^4-16+a+16⋮x^2+4\)

=>a+16=0

hay a=-16