Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tìm max:
Áp đụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\left(x+y\right)+z\le\frac{\left(x+y\right)^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2}{2}=2+xy\)
Chứng minh tương tự ta có: \(2+xz\ge x+y+z;2+yz\ge x+y+z\)
Từ trên ta lại có: \(P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow Max_P=1\)
Tìm Min
Áp BĐT Cauchy - Schwaz ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)+3xyz}\left(1\right)\)
Đặt \(t=x+y+z\left(\sqrt{2}\le t\le\sqrt{6}\right)\)
Mặt khác ta có: \(9xyz\le\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)=\frac{t\left(t^2-2\right)}{2}\)
Kết hợp với \(\left(1\right)\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)+3xyz}\ge\frac{6t}{t^2+10}\) Luôn đúng với \(\sqrt{2}\le t\le\sqrt{6}\)
Dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{2}\\y=z=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow Min_P=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy ...........
Bạn Băng Băng ơi, BD9T AM - GM là bất đẳng thức Cô - si đúng không bạn ?
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{6x^2y^2z^2}\le\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=1\)
mình nhầm :) làm lại nhé
\(P\le\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\le\frac{\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}{6xyz}\le\frac{xy+yz+zx}{2xyz}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{2xyz}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2
GTNN của x^2 + y^2 + z^2 là 12 tại x = y = z = 2
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3