Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này có nhiều cách, xin phép làm 2 cách đơn giản. Tuy nhiên ở cách 2 tính sai chỗ nào thì tự check:) (chắc ko sai đâu:v đừng lo quá mức)
Cách 1: \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(2x^2+2z^2\ge4xz\)
\(2y^2+2z^2\ge4yz\)
Cộng theo vế 3 bđt trên kết hợp giả thiết suy ra \(S\ge10\)
Cách 2:
Xét \(S-2\left[xy+2yz+2zx\right]\)
\(=\left(x-y\right)^2+2\left(y-z\right)^2+2\left(z-x\right)^2\ge0\)
Do đó...
Ta có x2 + 1 >=2x . Dấu = xảy ra khi x = 1
Tương tự ta cũng có : y2 +4 >=4y. dấu = xảy ra khi y = 2 ; z2 +9 >=6z, dấu = xảy ra khi y = 3
vì x, y, z > 0, nên nhân từng vế các bđt này ta đc : ( x2 +1)( y2 +4)( z2 +9) >= 48xyz
Dấu = xảy ra khi x =1, y =2, z = 3
Vậy \(P=\frac{1^3+2^3+3^3}{\left(1+2+3\right)^2}=\frac{36}{36}=1\)
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Lần sau bạn nhớ gửi đường dẫn câu hỏi nhé:
vào tìm câu hỏi qua Thông kế--> câu hỏi khác--> mỏi và ngại lắm.
\(x+y+z=1\left(1\right)\)
\(\frac{x}{z+z}+\frac{y}{\left(z+x\right)}+\frac{z}{\left(x+y\right)}=1\left(2\right)\)
Lấy (1) nhân (2)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{z+y}+\frac{y}{\left(z+x\right)}+\frac{z}{\left(x+y\right)}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{z+y}+\frac{y^2}{\left(z+x\right)}+\frac{z^2}{\left(x+y\right)}\right)+\left(x+y\right)\frac{z}{\left(x+y\right)}+\left(y+z\right).\frac{x}{\left(z+y\right)}+\left(x+z\right).\frac{y}{\left(z+x\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{z+y}+\frac{y^2}{\left(z+x\right)}+\frac{z^2}{\left(x+y\right)}\right)+\left(x+y+z\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{z+y}+\frac{y^2}{\left(z+x\right)}+\frac{z^2}{\left(x+y\right)}\right)+1=1\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x^2}{z+y}+\frac{y^2}{\left(z+x\right)}+\frac{z^2}{\left(x+y\right)}\right)=0\)
Chưa thạo bước 2 nhân phân phối bt hết ra rồi ghép lại
(mình hay lang thang xem lời giải => thấy cách nhân ghép luôn đỡ mỏi)
\(2P-2=2\left(xy+yz+zx\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)^2\left(z^2-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(x^2-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(y^2-1\right)\le0\)
\(\text{( Do }x^2;y^2;z^2\le1\text{)}\)
\(\Rightarrow2P\le2\Rightarrow P\le1\)
\(\text{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 trong 3 số bằng 1; 2 số còn lại bằng 0.}\)