Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) ta tính được \(A=\frac{1}{4}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của A
Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Do đó ta cần phải chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(x=y=z=\frac{1}{3}\) thì \(A_{Min}=\frac{1}{4}\)
áp dụng bdt cauchy -schửat dạng engel ta có
\(A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{2}=\frac{1}{2}\)
(do \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) bn tự cm nhé)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
AP DUNG BDT CAUCHY-SCHWAR : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(DAU "=" XAY RA KHI \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))
...Cauchy-Schwarz:
\(Q\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{36}{1}=36\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\3y=2z\\z=3x\end{cases}}\)
Giải tiếp t cái dấu = :v
TA CÓ:
\(P=\frac{4x}{4\sqrt{y+z-4}}+\frac{4y}{4\sqrt{z+x-4}}+\frac{4z}{4\sqrt{x+z-4}}\)
ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC:
a2+4\(\ge\)4a
\(\Rightarrow P\ge\frac{4x}{y+z-4+4}+\frac{4y}{z+x-4+4}+\frac{4z}{4+z+x-4}=4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge6\)
DẤU BẰNG XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI x=y=z=4
NẾU AI CHƯA HIỂU ĐOẠN
\(4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge6\)
THÌ LÀM THẾ NÀY NHÉ:
TA CÓ:
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x^2}{x\left(y+z\right)}+\frac{y^2}{y\left(z+x\right)}+\frac{z^2}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow4\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\ge\frac{4.3}{2}=6\)
áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y+2z}{9}+\frac{1}{3}>=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+2z}.\frac{\left(y+2z\right)}{9}.\frac{1}{3}}=x\)
\(=>\frac{x^3}{y+2z}>=x-\frac{y+2z}{9}-\frac{1}{3}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{z+2x}>=y-\frac{z+2x}{9}-\frac{1}{3}\),\(\frac{z^3}{x+2y}>=z-\frac{x+2y}{9}-\frac{1}{3}\)
\(=>P>=\left(x+y+z\right)-\frac{3\left(x+y+z\right)}{9}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\)
Mà x+y+z=3
\(=>P>=3-1-1=1\)
=>Min P=1
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
\(B=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT cô si:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)
CMTT: \(\frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge4-\frac{2.\left(x+y+z\right)}{4}=4-2=2\)
\(B\ge2\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\)
sờ vác xơ
\(B=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(=2\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{4}{3}\)