Question

[Sách Giáo Khoa]

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :

a) \(f\left(x\right)=2x^3-2x^2-12x+1\) trên đoạn \(\left[-2;\dfrac{5}{2}\right]\)

b) \(f\left(x\right)=x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[1;e\right]\)

c) \(f\left(x\right)=xe^{-x}\) trên nửa đoạn [0; +\(\infty\))

d) \(f\left(x\right)=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3}{2}\pi\right]\)

Answer 1

[Nguyễn Bảo Trung]

a) f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x² – 6x – 12

f’(x) = 0 ⇔ x ∈ {-1, 2}

So sánh các giá trị:

f(x) = -3; f(-1) = 8;

f(2) = -19, f(52)=−332f(52)=−332

Suy ra:

maxx∈[−2,52]f(x)=f(−1)=8minx∈[−2,52]f(x)=f(2)=−19maxx∈[−2,52]⁡f(x)=f(−1)=8minx∈[−2,52]⁡f(x)=f(2)=−19

b) f(x) = x² lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e] nên f(x) đồng biến.

Do đó:

maxx∈[1,e]f(x)=f(e)=e2minx∈[1,e]f(x)=f(1)=0maxx∈[1,e]⁡f(x)=f(e)=e2minx∈[1,e]⁡f(x)=f(1)=0

c) f(x) = f(x) = xe^-x ⇒ f’(x)= e^-x – xe^-x = (1 – x)e^-x nên:

f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1) và f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)

nên:

maxx∈[0,+∞)f(x)=f(1)=1emaxx∈[0,+∞)⁡f(x)=f(1)=1e

Ngoài ra f(x) = xe^-x > 0, ∀ x ∈ (0, +∞) và f(0) = 0 suy ra

maxx∈[0,+∞)f(x)=f(0)=0maxx∈[0,+∞)⁡f(x)=f(0)=0

d) f(x) = 2sinx + sin2x ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x

f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π

⇔ x∈{−π+k2π;π3+k2π3}x∈{−π+k2π;π3+k2π3}

Trong khoảng [0,3π2][0,3π2] , phương trình f’(x) = 0 chỉ có hai nghiệm là x1=π3;x2=πx1=π3;x2=π

So sánh bốn giá trị : f(0) = 0; f(π3)=3√32;f(π)=0;f(3π2)=−2f(π3)=332;f(π)=0;f(3π2)=−2

Suy ra:

maxx∈[0,3π2]f(x)=f(π3)=3√32minx∈[0,3π2]f(x)=f(3π2)=−2

Answer 2

[CÔNG CHÚA THẤT LẠC]