Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Dễ thấy hệ có bộ nghiệm \((x,y)=(0;0)\)
Ta cần tìm $a$ sao cho hpt không còn nghiệm nào ngoài $(0;0)$
Trừ 2 PT cho nhau:
\(y^2-x^2=(x^3-y^3)-4(x^2-y^2)+a(x-y)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-4(x-y)(x+y)+a(x-y)+(x-y)(x+y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-3x-3y+a)=0\)
Ta thấy TH \(x-y=0\) đã thỏa mãn bộ nghiệm \(x=y=0\), nên để hpt không có nghiệm nào khác \((0;0)\)
thì pt \(x^2+xy+y^2-3x-3y+a=0(*)\) phải vô nghiệm hoặc có chỉ có nghiệm \(x=y=0\)
+) \((*)\) vô nghiệm:
\(\Leftrightarrow \Delta< 0\)
\(\Leftrightarrow (y-3)^2-4(y^2-3y+a)< 0\)
\(\Leftrightarrow 4a> -3y^2+6y+9\) với mọi y
\(\Leftrightarrow 4a> \max(-3y^2+6y+9)\)
\(\Leftrightarrow 4a> \max [12-3(y-1)^2]\)\(\Leftrightarrow 4a>12\Leftrightarrow a>3\)
+) \((*)\) có nghiệm \(x=y=0\Rightarrow a=0\)
\((*)\) trở thành \(x^2+xy+y^2-3(x+y)=0\)
Thay \(x=0\) vào ta thấy pt còn nghiệm \(y=3\) (không thỏa mãn tính duy nhất) (loại)
Vậy \(a>3\) thỏa mãn. (1)
--------------------------------------------
Giờ ta quay lại TH $x=y$ để kiểm tra lại
Thay vào pt đầu tiên: \(x^2=x^3-4x^2+ax\Leftrightarrow x^3-5x^2+ax=0\)
\(\Leftrightarrow x(x^2-5x+a)=0\)
Để pt có nghiệm duy nhất \(x=0\) thì $x^2-5x+a=0$ vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm là $0$
TH chỉ có nghiệm là $0$ kéo theo \(a=0\Rightarrow x^2-5x=0\) còn có nghiệm $x=5$ (vô lý)
TH vô nghiệm \(\Rightarrow \Delta=25-4a <0\Leftrightarrow a> \frac{25}{4}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(a>\frac{25}{4}\)
Từ pt (1) ta có: y=ax-2 thế vào pt (2) ta được:
\(x+a\left(ax-2\right)=3\)
\(\Leftrightarrow x+a^2x-2a=3\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+1\right)x=2a+3\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2a+3}{a^2+1}\) (Vì \(a^2+1\ne0\))
\(\Rightarrow y=a\cdot\dfrac{2a+3}{a^2+1}-2=\dfrac{3a-2}{a^2+1}\)
Vậy với mọi a hệ có nghiệm duy nhất là \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2a+3}{a^2+1};\dfrac{3a-2}{a^2+1}\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=9\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\3-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm hệ phương trình (3; - 3)
a: 2x+y=3 và x-y=6
=>3x=9 và x-y=6
=>x=3 và y=3-6=-3
b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì a/1<>-1/1
=>a<>-1
1.
a, \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=3\\-4x=3x-13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3y=3\\-4x-3x=13\end{matrix}\right.\)\(\left\{{}\begin{matrix}-4x+6y=-6\\-4x-3y=13\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9y=-19\\-4x+6y=-6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{3}\\y=-\dfrac{19}{9}\end{matrix}\right.\)
b, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=9\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}=2\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\left(TM\right)\\y=\dfrac{1}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
c, \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{y}=1\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=3\end{matrix}\right.\left(x,y\ne0\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}-\dfrac{5}{y}=1\\\dfrac{10}{x}+\dfrac{5}{y}=15\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{13}{x}=16\\\dfrac{10}{x}+\dfrac{5}{y}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{13}{16}\left(TM\right)\\y=\dfrac{13}{7}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
d, \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}-3\sqrt{y-1}=-4\\2\sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}=2\end{matrix}\right.\left(x\ge-1,y\ge1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x+1}-6\sqrt{y-1}=-8\\2\sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5\sqrt{y-1}=-10\\2\sqrt{x+1}-6\sqrt{y-1}=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y-1}=2\\2\sqrt{x+1}-6\sqrt{y-1}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\left(TM\right)\\y=5\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)