Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=m^2-4m+8=\left(m-2\right)^2+4>0\) \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1-x_2=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{2\sqrt{5}+m}{2}\\x_2=\frac{m-2\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{m+2\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{m-2\sqrt{5}}{2}\right)=m\)
\(\Leftrightarrow m^2-20=4m\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m-20=0\Rightarrow m=2\pm2\sqrt{6}\)
Câu 2:
\(\Delta=25-4\left(3m+1\right)=21-12m>0\Rightarrow m< \frac{7}{4}\)
Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=3m+1\end{matrix}\right.\)
Theo HĐT \(\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=21-12m\)
Thay vào bài toán:
\(\left|x_1^2-x_2^2\right|=15\)
\(\Leftrightarrow\left|\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\right|=15\)
\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|=\frac{15}{5}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow21-12m=9\)
\(\Leftrightarrow12m=12\)
\(\Rightarrow m=1\)
Bài 2 :
a) Pt : \(\left(a-3\right)x^2-2\left(a-1\right)x+a-5=0\)
a = a - 3
b = 2 (a-1) => b' = a-1
c = a-5
Đk1 :
\(a\ne0\)
=> \(a-3\ne0\)
=> \(a\ne3\)
Đk2 :
\(\Delta'>0\Rightarrow\left(a-1\right)^2-\left(a-3\right)\left(a-5\right)>0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1-a^2+8a-15>0\)
<=> -14 + 6a >0
<=> 6a > 14
<=> \(a>\dfrac{7}{3}\)
Vậy để pt có 2 nghiệm phân biệt thì a khác 3 và a > 7/3.
b) Pt : \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-m=0\)
a = m-1
b = 2 (m-1) => b' = m-1
c = -m
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right).\left(-m\right)=m^2-2m+1+m^2-m=2m^2-3m+1\)
Để pt có nghiệm kép thì :
\(\Delta'=0\)
<=> 2m2 -3m + 1 =0
<=> \(2m^2-2m-m+1=0\)
<=> \(\left(2m^2-2m\right)-\left(m-1\right)=0\)
<=> \(2m\left(m-1\right)-\left(m-1\right)=0\)
<=> \(\left(2m-1\right)\left(m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1=0\\m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m=1\\m=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{2}\\m=1\end{matrix}\right.\)
\(\cdot TH1:x_1=x_2=\dfrac{-b'}{a}=\dfrac{-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)}{\dfrac{1}{2}-1}=-1\)
\(\cdot TH2:x_1=x_2=\dfrac{-\left(1-1\right)}{1-1}\) mẫu phải khác 0 nên => không thỏa mãn.
Chỗ câu 2a (Đk2) mình xác định sai ạ, làm lại nhé :)
a = a-3
b = -2 (a -1) => b' = - (a-1)
c = a - 5
=> △' = \(b'^2-ac=\left(-a-1\right)^2-\left(a-3\right)\left(a-5\right)=9a-14\)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì :
△' > 0
=> 9a - 14 > 0
=> 9a > 14
=> a > \(\dfrac{14}{9}\)
Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì:
$\Delta'=(m+3)^2-(m^2+3)>0\Leftrightarrow m> -1$
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+3)\\ x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\)
Khi đó: $(2x_1-1)(2x_2-1)=9$
$\Leftrightarrow 4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1=9$
$\Leftrightarrow 4(m^2+3)-4(m+3)=8$
$\Leftrightarrow m^2+3-(m+3)=2$
$\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Leftrightarrow (m-2)(m+1)=0$
Kết hợp với đk $m>-1$ suy ra $m=2$
\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m^2+3\right)=6m+6>0\Rightarrow m>-1\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+3\right)\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\)
\(\left(2x_1-1\right)\left(2x_2-1\right)=9\)
\(\Leftrightarrow4x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)-8=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(m^2+3\right)-4\left(m+3\right)-8=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(l\right)\\m=2\end{matrix}\right.\)
\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2+m^2=\left(m+1\right)^2+m^2>0\)
=> PT có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Ta có \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2m+2\right)^2-2m\)
\(=4m^2-8m+4-2m=4m^2-10m+4\)
Mà \(x_1^2+x_2^2=4\sqrt{x_1x_1}\)
\(\Rightarrow4m^2-10m+4=4\sqrt{m}\)
\(\Rightarrow4m^2+10m-4\sqrt{m}-4=0\)
\(\Rightarrow2\left(2m^2+5m-2\sqrt{m}-1\right)=0\)
\(\Rightarrow2m^2+5m-2\sqrt{m}-1=0\)
\(\Rightarrow2\left(m^2+2m-1\right)+\left(m-2\sqrt{m}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow2\left(m-1\right)^2+\left(\sqrt{m}-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)^2=0\\\sqrt{m}-1=0\end{matrix}\right.\) => m = 1
Vậy giá trị m thỏa mãn là m= 1
Bài 1:
a: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-1\right)=4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2>=0\)
Do đó: Phương trình luôn có nghiệm
b: Theo đề, ta có: \(\left(2m\right)^2=2m-1+7=2m+6\)
\(\Leftrightarrow4m^2-2m-6=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-6m+4m-6=0\)
=>(4m-6)(m+1)=0
=>m=-1 hoặc m=3/2
9.3
\(pt:x^2+4x-1\)
\(\Delta=4^2-4.1.\left(-1\right)=20\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{-4+\sqrt{20}}{2}=-2+\sqrt{5}\\x_2=\frac{-4-\sqrt{20}}{2}=-2-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(a.A=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=\left|-2+\sqrt{5}\right|+\left|-2-\sqrt{5}\right|=-2+\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)
b. Theo hệ thức Vi-et:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4\\x_1.x_2=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x^2_2=16-2x_1x_2=16-2.1=14\\x_1^2x_2^2=1\end{matrix}\right.\)
\(B=x_1^2\left(x_1^2-7\right)+x_2^2\left(x_2^2-7\right)=x_1^4-7x_1^2+x_2^4-7x^2_2=\left(x_1^2\right)^2+\left(x_2^2\right)^2-7\left(x^2_1+x^2_2\right)=\left(x^2_1+x^2_2\right)^2-2x_1^2x_2^2-7\left(x_1^2+x_2^2\right)=14^2-2.1-7.14=96\)
9.1 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì :
\(\Delta'=2^2-2=2>0\)
Theo hệ thức Viei, ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)
a) \(S=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1.x_2}{x_1+x_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
b) \(Q=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{4^2-2.2}{2}=6\)
c) \(K=\frac{1}{x_1^3}+\frac{1}{x_2^3}=\frac{\left(x_1+x_2\right)(\left(x_1+x_2\right)^2-3xy)}{\left(x_1.x_2\right)^3}=5\)
\(G=\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right)}{\left(x_1x_2\right)^2}=10\)
1: =>x+1=5
=>x=4
2: \(\Leftrightarrow\left|x-5\right|=2x+2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=-1\\\left(2x+2-x+5\right)\left(2x+2+x-5\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>=-1\\\left(x+7\right)\left(3x-3\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)
3: \(\Leftrightarrow\sqrt{3+x}\left(\sqrt{3-x}+1\right)=0\)
=>x+3=0
=>x=-3