PD
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
0
US
0
12 tháng 4 2020
Ta có: \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=\sqrt{8\left(a^2+ab+2ab+2ac\right)}=2\cdot\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\)
\(\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự\(\hept{\begin{cases}\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c\\\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{4c^2+ab+2ac+2bc}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\end{cases}}\)
=> Q>2
Dấu "=" <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\c=1,5\end{cases}}\)
31 tháng 8 2019
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
KN
24 tháng 11 2020
Ta có: \(\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{a+b+\frac{4}{3}}{3}=\frac{a+b}{3}+\frac{4}{9}\)
Tương tự rồi cộng các vế của BĐT lại, ta được: \(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}P\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}+\frac{4}{3}=2\Rightarrow P\le\sqrt[3]{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
8 tháng 7 2021
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=2\sqrt{2\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)
\(=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c;\)\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)
Do vậy \(Q\ge\frac{11a+11b+12c}{3a+2b+2c+2a+3b+2c+\frac{a+b+4c}{2}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)\)
a) \(P=1957\)
b) \(S=19.\)
8 tháng 4 2016
Ta có \(x^3+y^3\ge\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3;xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) với mọi \(x,y>0\)
Kết hợp với giả thiết suy ra :
\(\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)^3\le\left(a+b\right)^3+c^3\le4\left(a^3+b^3\right)+c^3\le2\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}-2\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge4\)
Khi đó sử dựng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2a\left(c+2\right)}=\frac{a}{a+c+2+\left(\frac{b^2}{2a}+\frac{a}{2}\right)}\le\frac{a}{a+c+2+2\sqrt{\frac{b^2}{2a}.\frac{a}{2}}}=\frac{a}{a+b+c+2}\)
Và \(\left(a+b\right)^2+c^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2\)
Suy ra \(P\le\frac{a+b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{32}\)
Đặt \(t=a+b+c\ge4,P\le f\left(t\right)=\frac{t}{t+2}-\frac{t^2}{32}\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{2}{\left(t+2\right)^2}-\frac{t}{16}=\frac{32-t\left(t+2\right)^2}{16\left(t+2\right)^2}<0\) với mọi \(t\ge4\)
Suy ra hàm số \(f'\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left(4;+\infty\right)\). Do đó \(P\le f\left(t\right)\le f\left(4\right)=\frac{1}{6}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\begin{cases}a=b;a+b=c\\a+b+c=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=1,c=2\)
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng \(\frac{1}{6}\)
a + 5 = 7c => 5 = 7c - a
Thay vào a3 + 5a2 + 21 = 7b ta được:
a3 + (7c - a).a2 + 21 = 7b
=> a3 + 7c.a2 - a3 + 21 = 7b
=> 7c.a2 + 21 = 7b
=> 7b - 7c.a2 = 21 (1)
=> 7c.(7b-c - a2) = 21 (*)
Từ (1) => 7b > 7c.a2 => b > c => 7b-c nguyên mà a2 nguyên nên 7b-c - a2 nguyên
Kết hợp với (*) => 21 chia hết cho 7c
Mà \(7^c\ge7\) do c nguyên dương nên 7c = 7 => c = 1
Thay vào a + 5 = 7c ta được: a + 5 = 71 => a = 2
Thay c = 1; a = 2 vào (*) ta được: 71.(7b-1 - 22) = 21
=> 7b-1 - 4 = 3
=> 7b-1 = 7 => b - 1 = 1 => b = 2
Vậy a = b = 2; c = 1
tú đâu rồi vào tick cho sư phụ you kìa :)))))))