Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết : \(2ab+3bc+4ac=5abc\)Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên chia cả hai vế cho \(abc>0\)được :
\(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=5\)
Áp dụng bất đẳng thức phụ sau : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( x,y là số dương. Dấu đẳng thức xảy ra <=> x = y )
(Bạn tự chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé!)
Ta có : \(P=\frac{7}{a+b-c}+\frac{6}{b+c-a}+\frac{5}{c+a-b}=\left(\frac{2}{c+a-b}+\frac{2}{b+c-a}\right)+\left(\frac{3}{c+a-b}+\frac{3}{a+b-c}\right)+\left(\frac{4}{a+b-c}+\frac{4}{b+c-a}\right)\)\(=2\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b+c-a}\right)+3\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+4\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\ge2.\frac{4}{c+a-b+b+c-a}+3.\frac{4}{c+a-b+a+b-c}+4.\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{8}{2c}+\frac{12}{2a}+\frac{16}{2b}=\frac{4}{c}+\frac{6}{a}+\frac{8}{b}=2\left(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}\right)=10\)Vậy Min P = 10 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{9}{5}\)
2ab+3bc+4ca=5abc
chia hai vế với abc
=>\(\frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=5\)
=> tự giải tiếp
a)
Ta thấy \(3x^2⋮5\Rightarrow x⋮5\Leftrightarrow x=5a\)
Thay vào pt đầu ta có:\(15a^2+y^2=51\\
\Rightarrow y=3b\)
Hay\(5a^2+3b^2=17\)
vì x,y nguyên nên a,b cũng nguyên
như vậy tìm được a=1,b=2
nên x=5,y=6
Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
- Thay x=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0\) (không thỏa mãn vì c>0)
- Thay y=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0\)( không thỏa mãn vì c>0)
- Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có
\(\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
=> \(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}\ge\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}\)
tương tự ta có
\(\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}\)
mà \(\left(a+b+c+d\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1+1+1+1\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)
từ đó ta có
\(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{a^3+b^3+c^3+d^3}\ge\frac{1}{2}\)
dấu = xảy ra <=> \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
Đặt A là vế trái của BĐT cần chứng minh và ký hiệu m là số bé nhất trong bốn số có ở mẫu của A.Như vậy \(m\ge abcd+1\)và
\(A\le\frac{a}{m}+\frac{b}{m}+\frac{c}{m}+\frac{d}{m}=\frac{a+b+c+d}{m}\le\frac{a+b+c+d}{1+abcd}\)
Vì \(a,b,c,d\in\left[0,1\right]\)nên
\(a+b\le1+ab;c+d\le1+cd;ab+cd\le1+abcd\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\le3+abcd\)
vì thế \(A\le\frac{3+abcd}{1+abcd}\le3\)
Vậy Max là 3
có ai có cách giải dễ hiểu hơn ko? bn trên lm như vậy cx đc r nhưng trình bày chưa đc!
Có vẻ giống bài tổng quat của sqing bên AoPS. Mặc dù sqing nói chưa biết bài tổng quát này đúng hay sai:
Cho a, b, c, d là các số thực và \(k\ge3\). Chứng minh (hay phản chứng minh):
\(\left(a^2+k\right)\left(b^2+k\right)\left(c^2+k\right)\left(d^2+k\right)\ge\left(k+1\right)^2\left(a+b+c+d+k-3\right)^2\)
Nguồn: https://artofproblemsolving.com/community/c6h19666p10662432
giỏi thì làm bài nÀY nèk
chứ mấy bác cứ đăng linh ta linh tinh lên online math
Linh ta linh tinh gì. ko biết làm thì tôi mới nhờ mọi người chứ
đây là câu cuối bài khảo sat trg tôi. ko làm được thì đừng phát biểu linh tinh
Không mất tính tổng quát, giả sử: \(a\le b\le c< d\)
Ta có: \(d!=a!+b!+c!\le3c!\Leftrightarrow c!\cdot\left(c+1\right)\cdot...\cdot d\le3c!\Leftrightarrow\left(c+1\right)\cdot...\cdot d\le3\)
TH1: c+1=1 thì d=1 hoặc d=2
+) TH1.1: d=1, không thỏa mãn
+) TH1.2: d=2, không thỏa mãn
TH2: c+1=2 thì d=2, lúc đó cũng không tìm được 3 số thỏa mã
TH3: c+1=3 thì c=2 và d=3. Ta có: a! + b! +2! = 3! -> a! + b! = 4 -> a=b=2
Vậy 3 số a=b=c=2, d=3
Mình làm hơi tắt chút bạn thông cảm nha