H
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AL
0
20 tháng 2 2018
a) Từ giả thiết : \(a^2+2c^2=3b^2+19\Rightarrow a^2+2c^2-3b^2=19\)
Ta có : \(\frac{a^2+7}{4}=\frac{b^2+6}{5}=\frac{c^2+3}{6}=\frac{3b^2+18}{15}=\frac{2c^2+6}{12}\)\(=\frac{a^2+7+2c^2+6-3b^2-18}{4+12-15}=\frac{14}{1}=14\)
\(\Rightarrow\)\(a^2=49\Rightarrow a=7\)
\(\Rightarrow\)\(b^2=64\Rightarrow b=8\)
\(\Rightarrow\)\(c^2=81\Rightarrow c=9\)
b) \(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)
\(=\left(x^4+2x^2+1\right)+\left(2x^3+2x\right)+x^2=\left(x^2+1\right)^2+2x\left(x^2+1\right)+x^2\)
\(=\left(x^2+x+1\right)^2\)
Vì \(x^2+x+1=\left(x^2+2x\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Nên \(P\ge\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=-\frac{1}{2}\)
14 tháng 10 2020
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
14 tháng 10 2020
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
19 tháng 12 2016
Bạn biết BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức không nhỉ?
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ca}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ca+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Đến đây áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ta có
\(P\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ZC
3
S
17 tháng 11 2019
\(ab^2+b+7⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow a\left(ab^2+b+7\right)-b\left(a^2b+a+b\right)⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow7a-b^2⋮a^2b+a+b\left(1\right)\)
\(+,7a=b^2\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(7k^2;7k\right)\left(k\text{ nguyên dương}\right)\)
\(+,7a>b^2\text{ từ 1}\Rightarrow7a-b^2\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow6a\ge a^2b+b+b^2\text{ mà: b là số nguyên dương}\Rightarrow b< 3\Leftrightarrow b\in\left\{1;2\right\}\)
làm tiếp
\(+,7a< b^2\text{ từ (1)}\Rightarrow b^2-7a\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow voli\text{ :)}.Tự\text{ kết luận}\)
23 tháng 2 2018
Thế chú học có hơn ai không mà sao chú nói vậy đấy ngon làm đi
14 tháng 5 2020
Từ giả thiết => \(a\equiv1\left(mod3\right)\), a=3k+1 (\(k\inℕ\)); b\(\equiv2\left(mod3\right)\), b=3q+2 \(\left(q\inℕ\right)\)
=> \(A=4^a+9^b+a+b=1=1+0+1+2\left(mod3\right)\)hay \(A\equiv4\left(mod3\right)\)(1)
Lại có \(4^a=4^{3k+1}=4\cdot64^k\equiv4\left(mod7\right)\)
\(9^b=9^{3q+2}\equiv2^{3q+2}\left(mod7\right)\Rightarrow9^b\equiv4\cdot8^q\equiv4\left(mod7\right)\)
Từ gt => \(a\equiv1\left(mod7\right),b\equiv1\left(mod7\right)\)
Dẫn đến \(A=4^a+9^b+a+b\equiv4+4+1+1\left(mod7\right)\)hay \(A\equiv10\left(mod7\right)\)
Từ (1) => \(A\equiv10\left(mod3\right)\)mà 3,7 nguyên tố cùng nhau nên \(A\equiv10\left(mod21\right)\)
=> A chia 21 dư 10
Ta có : \(a+5=7^c\Leftrightarrow5=7^c-a\)
Thay \(a^3+5a^2+21=7^b\) ta được :
\(a^3\left(7^c-a\right)\times a^2+21=7^b\)
\(\Rightarrow a^3+7^c\times a^2-a^3+21=7^b\)
\(\Rightarrow7^c\times a^2+21=7^b\)
\(\Rightarrow7^b-7^c\times a^2=21\left(1\right)\)
\(\Rightarrow7^c\times\left(7^{b-c}-a^2\right)=21\left(2\right)\)
Từ (1) suy ra \(7^b>7^c\times a^2\Rightarrow b>c\)
\(\Rightarrow7^{b-c}\) nguyên
Mà : \(a^2\) nguyên
Từ đó suy ra \(7^{b-c}-a^2\) nguyên
Kết hợp với \(\left(2\right)\Rightarrow21⋮7^c\)
Mà : \(7^c\ge7\) do c nguyên dương nên \(7^c=7\)\(\Rightarrow c=1\)
Thay vào \(a+5=7^c\) ta được \(a+5=7^1\Leftrightarrow a+5=7\Leftrightarrow a=2\)
Thay c =1 ; a=2 vào (2) ta có :
\(7^1\times\left(7^{b-1}-2^2\right)=21\)
\(\Rightarrow7^{b-1}-4=3\)
\(\Rightarrow7^{b-1}=7\)
\(\Rightarrow b-1=1\)
\(\Rightarrow b=2\)
Vậy a = 2 ; b = 2 ; c = 1