Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Hệ điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3>x^2+mx+1\\x^2+mx+1>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\in R\)
Xét BPT đầu tiên:
\(\Leftrightarrow x^2-mx+2>0\) \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-8< 0\Rightarrow-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}\)
Xét BPT thứ 2:
\(x^2+mx+1>0\)
\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Rightarrow-2< m< 2\)
Kết hợp lại ta được \(-2< m< 2\)
Câu 2:
\(\left|x+2+\left(y-3\right)i\right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=8\)
\(\Rightarrow\) Quỹ tích z là các điểm \(M\left(x;y\right)\) nằm trên đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;3\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2}\)
Gọi \(A\left(-1;-6\right);B\left(7;2\right)\) và \(C\left(3;-2\right)\) là trung điểm AB
\(\Rightarrow P=\left|z+1+6i\right|+\left|z-7-2i\right|=MA+MB\)
Gọi d là đường thẳng qua C và I, cắt đường tròn (C) tại D trong đó I nằm giữa C và D
\(\Rightarrow P_{max}\) khi \(M\equiv D\)
\(\overrightarrow{CI}=\left(-5;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng CI nhận \(\overrightarrow{n_{CI}}=\left(1;1\right)\) là 1 vtpt
\(\Rightarrow\)Phương trình CI: \(x+y-1=0\)
Tọa độ D là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=8\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow y=1-x=5\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=5\end{matrix}\right.\)
Gọi phương trình d có dạng \(y=kx+b\), do d qua A
\(\Rightarrow5=-k+b\Rightarrow b=k+5\)
\(\Rightarrow\) Phương trình d: \(y=kx+k+5\)
Phương trình hoành độ giao điểm d và (C):
\(-x^3+3x^2+1=kx+k+5\Leftrightarrow x^3-3x^2+4+k\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2+k\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left[\left(x-2\right)^2+k\right]=0\) (1)
Do (1) luôn có nghiệm \(x=-1\Rightarrow\) để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left(x-2\right)^2+k=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-1-2\right)^2+k\ne0\\\left(x-2\right)^2=-k\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ne-9\\-k>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ne-9\\k< 0\end{matrix}\right.\)
Bài 1: Ta có
\(y'=0\Leftrightarrow x[2mx^2-(m+1)]=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 2mx^2-(m+1)=0(1)\end{matrix}\right.\)
Một điểm nằm trên trục tọa độ thì tung độ hoặc hoành độ phải bằng $0$. Do đó yêu cầu đề bài được đáp ứng khi $y'=0$ có nghiệm $x=0$ hoặc nếu $x$ khác $0$ thì tung độ tương ứng phải bằng $0$
+) Nếu \(m=0\) : $(1)$ vô nghiệm . $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $m=-1$ : $(1)$ có nghiệm $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $-1< m< 0$. Từ \((1)\Rightarrow x^2=\frac{m+1}{2m}< 0\) (vô lý) nên $(1)$ vô nghiệm. $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu \(m>0\) hoặc \(m< -1\)
$(1)$ có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}}\neq 0\)
\(\Rightarrow y=m(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^4-(m+1)(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^2+(m+1)\)
\(=\frac{(m+1)^2}{4m}-\frac{(m+1)^2}{2m}+(m+1)\)
\(=(m+1)-\frac{(m+1)^2}{4m}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) . Vì \(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
Vậy \(-1\leq m\leq 1 \text{or m}=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Ta có: \(y'=4x^3+4mx=0\Leftrightarrow x(x^2+m)=0\)
Nếu $m\geq 0$. PT $y'=0$ có duy nhất nghiệm $x=0$. Ta chỉ thu được 1 điểm cực trị (loại)
Nếu $m<0$. Ngoài $x=0$ pt $y'=0$ còn có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{-m}\neq 0\)
(thu được 3 cực trị)
Khi đó:
\(y=(\pm \sqrt{-m})^4+2m(\pm \sqrt{-m})^2+4=m^2-2m^2+4=4-m^2\)
Để điểm cực trị nằm trên trục tọa độ thì \(y=0\Leftrightarrow 4-m^2=0\Leftrightarrow m=-2\) (do $m< 0$)
Vậy \(m=-2\)
Phương trình hoành độ giao điểm là
\(x^4-3\left(m+2\right)x^2+3m=-1\)
Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\), phương trình trở thành
\(t^2-3\left(m+2\right)t+1=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=3m+1\end{matrix}\right.\)
Yêu cầu của bài toán tương đương
\(\left\{{}\begin{matrix}0< 3m+1< 4\\3m+1\ne1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}< m< 1,m\ne0\)
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(-x^4-mx^2+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^4+mx^2-m+1=0\)(1)
Đặt \(x^2=a\left(a>=0\right)\)
Phương trình trở thành: \(a^2+ma-m+1=0\)(2)
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm dưong
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4\cdot1\cdot\left(-m+1\right)>0\\-m>0\\-m+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m-4< 0\\m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2< 8\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{2}-2< m< 2\sqrt{2}-2\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2\sqrt{2}-2< m< 0\)
\(y'=x^2-2mx+m^2-1\)
Hàm có 2 cực trị khi và chỉ khi:
\(x^2-2mx+m^2-1=0\) có 2 nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-\left(m^2-1\right)>0\Leftrightarrow1>0\) (luôn thỏa mãn)
Khi đó, gọi \(x_1;x_2\) là hai cực trị, theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2-7=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-3\left(m^2-1\right)-7=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4=0\Rightarrow m=\pm2\)